Calcular as integrais :
integral x+1x^4-16 d x

Passo 1

A gente precisa calcular a integral integral x+1x^4-16,dx. O conteúdo aqui é decomposição em frações parciais e integração de funções racionais usando logaritmo e arctan. Para resolver, vamos fatorar o denominador e depois decompor em termos fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador usando identidades algébricas:
x^4-16 = (x^2-4)(x^2+4) = (x-2)(x+2)(x^2+4)
Isso transforma a integral em uma função racional com fatores lineares e um quadrático irreduzível.

Passo 3

Montamos a decomposição em frações parciais supondo que
x+1(x-2)(x+2)(x^2+4) = Ax-2 + Bx+2 + Cx+Dx^2+4
Em teoria, cada fator do denominador gera um termo próprio nessa soma.

Passo 4

Para achar A e B), substituímos x=2 e x=-2 na equação acima. Fazendo x=2 vem A=3/32 e com x=-2 vem B=1/32.

Passo 5

Para determinar C e D), igualamos
x+1 = A(x+2)(x^2+4) + B(x-2)(x^2+4) + (Cx+D)(x^2-4),
já trocando A e B) pelos valores obtidos. Ao expandir e comparar coeficientes de x^3,x^2,x^1 e termo constante, achamos C=-1/8 e D=-1/8.

Passo 6

Agora substituímos A,B,C,D na integral e separamos em termos básicos:
integral x+1x^4-16,dx = 332integral dxx-2 + 132integral dxx+2 - 18integral xx^2+4,dx - 18integral 1x^2+4,dx
Cada uma dessas é uma integral-padrão.

Passo 7

Usamos as fórmulas de integração conhecidas:
integral dxx-a = lnlvert x-arvert, integral xx^2+a^2,dx = tfrac12ln(x^2+a^2), integral dxx^2+a^2=tfrac1aarctanl( x ar)
Aplicando cada uma nos termos acima e reagrupando os logaritmos e o arctan, chegamos ao resultado final.

Resposta

[\displaystyle\frac{3}{32}\ln\lvert x-2\rvert + \frac{1}{32}\ln\lvert x+2\rvert - \frac{1}{16}\ln\bigl(x^2+4\bigr) - \frac{1}{16}\arctan\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr) + C]

Exercícios relacionados