Calcular as integrais :
Passo 1
A gente precisa calcular a integral
. O conteúdo aqui é decomposição em frações parciais e integração de funções racionais usando logaritmo e arctan. Para resolver, vamos fatorar o denominador e depois decompor em termos fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, fatoramos o denominador usando identidades algébricas:
Isso transforma a integral em uma função racional com fatores lineares e um quadrático irreduzível.
Passo 3
Montamos a decomposição em frações parciais supondo que
Em teoria, cada fator do denominador gera um termo próprio nessa soma.
Passo 4
Para achar
e
, substituímos
e
na equação acima. Fazendo
vem
e com
vem
.
Passo 5
Para determinar
e
, igualamos
já trocando
Passo 6
Agora substituímos
na integral e separamos em termos básicos:
Cada uma dessas é uma integral-padrão.
Passo 7
Usamos as fórmulas de integração conhecidas:
Aplicando cada uma nos termos acima e reagrupando os logaritmos e o arctan, chegamos ao resultado final.
Resposta
[\displaystyle\frac{3}{32}\ln\lvert x-2\rvert + \frac{1}{32}\ln\lvert x+2\rvert - \frac{1}{16}\ln\bigl(x^2+4\bigr) - \frac{1}{16}\arctan\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr) + C]