Dadas as funções
e
, defina as funções compostas
e
e determine o domínio da função resultante:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa definir as funções compostas $ f \circ g $, $ g \circ f $, $ f \circ f $ e $ g \circ g $ para as funções dadas $ f(x) = x - 2 $ e $ g(x) = x + 7 $. Além disso, vamos determinar o domínio de cada função composta. Para isso, precisamos entender o que são funções compostas e como determinar seus domínios.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a composição das funções $ f \circ g $. Isso significa que a gente vai aplicar a função $ g $ primeiro e depois a função $ f $ no resultado de $ g $. Matematicamente, isso é escrito como:
Passo 3
Vamos calcular $ f \circ g $ substituindo $ g(x) $ na função $ f $:
Então, a função composta $ f \circ g $ é $ x + 5 $.
Passo 4
Agora, vamos determinar o domínio de $ f \circ g $. O domínio de uma função composta é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais $ g(x) $ está no domínio de $ f $. Como tanto $ f(x) = x - 2 $ quanto $ g(x) = x + 7 $ são funções lineares, elas estão definidas para todo número real. Portanto, o domínio de $ f \circ g $ é todos os números reais.
Passo 5
Vamos repetir o processo para a composição $ g \circ f $. Isso significa aplicar $ f $ primeiro e depois $ g $ no resultado:
Passo 6
Calculando $ g \circ f $:
Então, a função composta $ g \circ f $ também é $ x + 5 $.
Passo 7
Determinar o domínio de $ g \circ f $. Assim como antes, ambas as funções são lineares e definidas para todos os números reais. Logo, o domínio de $ g \circ f $ é todo número real.
Passo 8
Agora, vamos definir a composição $ f \circ f $:
Passo 9
Calculando $ f \circ f $:
Então, a função composta $ f \circ f $ é $ x - 4 $.
Passo 10
Determinar o domínio de $ f \circ f $. Novamente, como $ f $ é linear e definida para todos os reais, o domínio de $ f \circ f $ é todo número real.
Passo 11
Por último, vamos definir a composição $ g \circ g $:
Passo 12
Calculando $ g \circ g $:
Então, a função composta $ g \circ g $ é $ x + 14 $.
Passo 13
Determinar o domínio de $ g \circ g $. Como $ g $ é uma função linear definida para todos os reais, o domínio de $ g \circ g $ também é todo número real.
Resposta
As funções compostas e seus domínios são: