Dadas as funções f(x) e g(x), defina as funções compostas f circ g, g circ f, f circ f e g circ g e determine o domínio da função resultante:
f(x)=x-2 ; g(x)=x+7

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa definir as funções compostas $ f \circ g $, $ g \circ f $, $ f \circ f $ e $ g \circ g $ para as funções dadas $ f(x) = x - 2 $ e $ g(x) = x + 7 $. Além disso, vamos determinar o domínio de cada função composta. Para isso, precisamos entender o que são funções compostas e como determinar seus domínios.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a composição das funções $ f \circ g $. Isso significa que a gente vai aplicar a função $ g $ primeiro e depois a função $ f $ no resultado de $ g $. Matematicamente, isso é escrito como:
f circ g

Passo 3

Vamos calcular $ f \circ g $ substituindo $ g(x) $ na função $ f $:
f circ g
Então, a função composta $ f \circ g $ é $ x + 5 $.

Passo 4

Agora, vamos determinar o domínio de $ f \circ g $. O domínio de uma função composta é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais $ g(x) $ está no domínio de $ f $. Como tanto $ f(x) = x - 2 $ quanto $ g(x) = x + 7 $ são funções lineares, elas estão definidas para todo número real. Portanto, o domínio de $ f \circ g $ é todos os números reais.

Passo 5

Vamos repetir o processo para a composição $ g \circ f $. Isso significa aplicar $ f $ primeiro e depois $ g $ no resultado:
g circ f

Passo 6

Calculando $ g \circ f $:
g circ f
Então, a função composta $ g \circ f $ também é $ x + 5 $.

Passo 7

Determinar o domínio de $ g \circ f $. Assim como antes, ambas as funções são lineares e definidas para todos os números reais. Logo, o domínio de $ g \circ f $ é todo número real.

Passo 8

Agora, vamos definir a composição $ f \circ f $:
f circ f

Passo 9

Calculando $ f \circ f $:
f circ f
Então, a função composta $ f \circ f $ é $ x - 4 $.

Passo 10

Determinar o domínio de $ f \circ f $. Novamente, como $ f $ é linear e definida para todos os reais, o domínio de $ f \circ f $ é todo número real.

Passo 11

Por último, vamos definir a composição $ g \circ g $:
g circ g

Passo 12

Calculando $ g \circ g $:
g circ g
Então, a função composta $ g \circ g $ é $ x + 14 $.

Passo 13

Determinar o domínio de $ g \circ g $. Como $ g $ é uma função linear definida para todos os reais, o domínio de $ g \circ g $ também é todo número real.

Resposta

As funções compostas e seus domínios são:
f circ g &= x + 5 & domínio: R g circ f &= x + 5 & domínio: R f circ f &= x - 4 & domínio: R g circ g &= x + 14 & domínio: R íííí

Exercícios relacionados