Sejam
e
. Calcule as derivadas parciais:
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado quer que calculemos a segunda derivada parcial de $ w $ em relação a $ y $ duas vezes e depois a $ x $. A matéria envolvida aqui é cálculo de derivadas parciais, e vamos precisar saber como diferenciar funções que envolvem exponenciais, funções hiperbólicas e radicais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a função que precisamos derivar:
Aqui, $ \sqrt{x} $ é a raiz quadrada de $ x $ e $ \cosh $ é a função cosseno hiperbólico, definida por:
Passo 3
Vamos começar encontrando a primeira derivada parcial de $ w $ em relação a $ y $. Quando derivamos em relação a $ y $, tratamos $ x $ como uma constante.
Sabemos que a derivada de $ \cosh(z) $ em relação a $ z $ é $ \sinh(z) $, então:
Passo 4
Agora, vamos derivar novamente essa expressão em relação a $ y $ para obter a segunda derivada parcial em $ y $:
Como $ x^{3/2} $ é constante em relação a $ y $, a derivada fica:
Passo 5
Por fim, precisamos derivar essa segunda derivada parcial em relação a $ x $:
Vamos usar a regra do produto aqui, onde derivamos $ x^{5/2} $ e $ \cosh(x y) $ separadamente:
Agora, aplicando a regra do produto:
Resposta
A segunda derivada parcial de $ w $ é: