-(9,0) Sejam z=e^2 x sen(yx) e w=raizx cdot cosh (x y). Calcule as derivadas parciais:
c) de

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado quer que calculemos a segunda derivada parcial de $ w $ em relação a $ y $ duas vezes e depois a $ x $. A matéria envolvida aqui é cálculo de derivadas parciais, e vamos precisar saber como diferenciar funções que envolvem exponenciais, funções hiperbólicas e radicais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a função que precisamos derivar:
w = raizx cdot cosh(x y)
Aqui, $ \sqrt{x} $ é a raiz quadrada de $ x $ e $ \cosh $ é a função cosseno hiperbólico, definida por:
raizx

Passo 3

Vamos começar encontrando a primeira derivada parcial de $ w $ em relação a $ y $. Quando derivamos em relação a $ y $, tratamos $ x $ como uma constante.
w
Sabemos que a derivada de $ \cosh(z) $ em relação a $ z $ é $ \sinh(z) $, então:
y

Passo 4

Agora, vamos derivar novamente essa expressão em relação a $ y $ para obter a segunda derivada parcial em $ y $:
y
Como $ x^{3/2} $ é constante em relação a $ y $, a derivada fica:
y

Passo 5

Por fim, precisamos derivar essa segunda derivada parcial em relação a $ x $:
x
Vamos usar a regra do produto aqui, onde derivamos $ x^{5/2} $ e $ \cosh(x y) $ separadamente:
partialpartial x ( x^5/2 cosh(x y) )
x^5/2
Agora, aplicando a regra do produto:
cosh(x y)

Resposta

A segunda derivada parcial de $ w $ é:
w

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