Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas:
z=e^x, x=raizu v, y=1v ; de

Passo 1

O enunciado pede pra usar a Regra da Cadeia e calcular as derivadas parciais de
z em relação a u e a v, sabendo que z depende de x e y, com:
z=e^x, x=raizu,v, y=tfrac1v
O conteúdo é a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Como z=f(x,y) com f(x,y)=e^x, e x=x(u,v), y=y(u,v), a Regra da Cadeia diz:
partial zpartial u=partial zpartial xpartial xpartial u+partial zpartial ypartial ypartial u,
partial zpartial v=partial zpartial xpartial xpartial v+partial zpartial ypartial ypartial v

Passo 3

Agora calculamos cada derivada parcial intermediária:
  • partial zpartial x=e^x e partial zpartial y=0 porque z não depende de y.
  • x=(uv)^1/2 partial xpartial u=12(uv)^-1/2cdot v=v2raizu v, partial xpartial v=12(uv)^-1/2cdot u=u2raizu v
  • y=1/v partial ypartial u=0 e partial ypartial v=-1/v^2

Passo 4

Substituindo na Regra da Cadeia:
  • partial zpartial u=e^xcdotv2raizu v+0 =v2raizu v,e^x
  • partial zpartial v=e^xcdotu2raizu v+0 =u2raizu v,e^x

Passo 5

Por fim, basta lembrar que x=raizu v e reescrever o resultado em termos de u e v.

Resposta

partial zpartial u=v2raizu ve^raizu v, partial zpartial v=u2raizu ve^raizu v.

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