Calcular as integrais: integralraiz2 / 2^1 arcsen t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de arcsin t de t=tfracraiz22 até t=1. O conteúdo é integrais definidas e vamos precisar encontrar a antiderivada de arcsin t (usando integração por partes) e depois avaliar nos limites.

Passo 2

Vamos achar uma primitiva de arcsin t usando integração por partes. Escolhemos u=arcsin t e dv=dt. Então du=tfrac1raiz1-t^2,dt e v=t. Pela fórmula de partes: integral u,dv = u v - integral v,du,temos: integral arcsin t,dt = t,arcsin t - integral t cdot 1raiz1-t^2,dtFazendo a substituição w=1-t^2, nota-se que dw=-2t,dt e então integral tfractraiz1-t^2,dt = -raiz1-t^2. Assim a primitiva fica: integral arcsin t,dt = tarcsin t + raiz1-t^2 + C

Passo 3

Agora avaliamos a primitiva no intervalo. Denotando F(t)=tarcsin t + raiz1-t^2, calculamos: F(1)=1cdotpi2+0=pi2, Fl(tfracraiz22r)=raiz22cdotpi4+raiz1-tfrac12 = piraiz28+raiz22Então a integral definida é: integralraiz22^1!arcsin t,dt = F(1)-Fl(tfracraiz22r) = pi2 - l(piraiz28+raiz22r)

Resposta

pi2 - piraiz28 - raiz22

Exercícios relacionados