Classifique as equações diferenciais ordinárias a seguir quanto a ordem, linearidade, homogeneidade e coeficientes.
Passo 1
Beleza, a gente tem a seguinte equação diferencial ordinária: $ y’ + 2y = 4(x+1)^2 $. A tarefa aqui é classificar essa equação em relação à ordem, linearidade, homogeneidade e coeficientes. Para isso, vamos entender cada um desses termos e ver como se aplicam nessa equação.
Passo 2
Ordem da Equação:
A ordem de uma equação diferencial é determinada pela maior derivada presente nela. Na equação $ y’ + 2y = 4(x+1)^2 $, a derivada mais alta é $ y’ $, que é a primeira derivada de $ y $.
Conclusão: A equação é de primeira ordem.
A ordem de uma equação diferencial é determinada pela maior derivada presente nela. Na equação $ y’ + 2y = 4(x+1)^2 $, a derivada mais alta é $ y’ $, que é a primeira derivada de $ y $.
Conclusão: A equação é de primeira ordem.
Passo 3
Linearidade:
Uma equação diferencial é considerada linear se pode ser escrita na forma geral:
Uma equação diferencial é considerada linear se pode ser escrita na forma geral:
onde $ a_1(x) $ e $ a_0(x) $ são funções de $ x $, e $ g(x) $ é uma função conhecida.
Comparando com nossa equação:
Aqui, $ a_1(x) = 1 $, $ a_0(x) = 2 $ e $ g(x) = 4(x+1)^2 $.
Conclusão: A equação é linear.
Passo 4
Homogeneidade:
Uma equação linear é homogênea se o lado direito da equação for igual a zero:
Uma equação linear é homogênea se o lado direito da equação for igual a zero:
Na nossa equação, o lado direito é $ 4(x+1)^2 $, que não é zero.
Conclusão: A equação é não homogênea.
Conclusão: A equação é não homogênea.
Passo 5
Coeficientes:
Analisamos se os coeficientes $ a_1(x) $ e $ a_0(x) $ são constantes ou variam com $ x $.
Analisamos se os coeficientes $ a_1(x) $ e $ a_0(x) $ são constantes ou variam com $ x $.
Na equação $ y’ + 2y = 4(x+1)^2 $:
- $ a_1(x) = 1 $ (constante)
- $ a_0(x) = 2 $ (constante)
Conclusão: A equação possui coeficientes constantes.
Resposta
A equação diferencial $ y’ + 2y = 4(x+1)^2 $ é de primeira ordem, linear, não homogênea e possui coeficientes constantes.