Calcular as integrais
\int\left(x+\operatorname{sec} ^{2} 3 x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva da função f(x)=x+\operatorname{sec}^{2}(3x). Vamos usar duas ideias básicas de integrais: a linearidade
\int\bigl(u(x)+v(x)\bigr)\,dx=\int u(x)\,dx+\int v(x)\,dx
e as regras de potência e de função composta para integrais.

Passo 2

Para calcular
\int x\,dx
aplicamos a regra de potência, que diz que
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\neq -1).
Aqui n=1, logo
\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}.

Passo 3

Para calcular
\int \operatorname{sec}^{2}(3x)\,dx
faremos a substituição u=3x. Então du=3\,dx, isto é, dx=\tfrac{1}{3}\,du. Substituindo,
\int \operatorname{sec}^{2}(3x)\,dx =\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,\frac{1}{3}du =\frac{1}{3}\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du.
Como \frac{d}{du}\bigl(\tan u\bigr)=\operatorname{sec}^{2}u, temos
\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du=\tan u,
portanto
\int \operatorname{sec}^{2}(3x)\,dx=\frac{1}{3}\tan(u)+C =\frac{1}{3}\tan(3x).

Passo 4

Pela linearidade, somamos os resultados das duas integrais:
\int\bigl(x+\operatorname{sec}^{2}(3x)\bigr)\,dx =\int x\,dx+\int \operatorname{sec}^{2}(3x)\,dx =\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{3}\tan(3x)+C.

Resposta

\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{3}\tan(3x)+C.

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