Calcule as integrais indefinidas
\int\left(3 x^{2}+5+\sqrt{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral indefinida
\int\bigl(3x^{2}+5+\sqrt{x}\bigr)\,dx
O conteúdo envolve a linearidade da integral e a regra de potência.

Passo 2

Primeiro convertemos \sqrt{x} em x^{\tfrac12} e usamos a linearidade:
\int\bigl(3x^{2}+5+\sqrt{x}\bigr)\,dx = \int 3x^{2}\,dx \;+\;\int 5\,dx \;+\;\int x^{\tfrac12}\,dx.

Passo 3

Para \displaystyle \int 3x^{2}\,dx, fatoramos a constante 3 e aplicamos a regra de potência \int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1):
\int 3x^{2}\,dx = 3\int x^{2}\,dx = 3\cdot\frac{x^{3}}{3} = x^{3}.

Passo 4

Para \displaystyle \int 5\,dx, sendo 5 constante:
\int 5\,dx = 5x.

Passo 5

Para \displaystyle \int x^{\tfrac12}\,dx, aplicamos novamente a regra de potência com n=\tfrac12:
\int x^{\tfrac12}\,dx = \frac{x^{\tfrac12+1}}{\tfrac12+1} = \frac{x^{\tfrac32}}{\tfrac32} = \frac{2}{3}\,x^{\tfrac32}.

Passo 6

Somando os resultados e adicionando a constante de integração C, obtemos
\int\bigl(3x^{2}+5+\sqrt{x}\bigr)\,dx = x^{3} + 5x + \frac{2}{3}\,x^{\tfrac32} + C.

Resposta

x^{3} + 5x + \frac{2}{3}\,x^{\tfrac32} + C

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