• Para qualquer função contínua f(x) é possível escolher o valor de n (número de subintervalos da partição do intervalo de integração) na regra dos Trapézios Repetida de modo que o valor de I_{T R} seja tão próximo de \int_{a}^{b} f(x) d x quando quisermos.

Passo 1

O enunciado afirma que, dada uma função contínua f em [a,b], usando a regra dos trapézios composta com n subintervalos de comprimento h=(b-a)/n, o valor
I_{TR} = \frac{h}{2}\Bigl(f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+\cdots+2f(x_{n-1})+f(x_n)\Bigr)
pode ficar arbitrariamente próximo de
\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x
desde que n seja suficientemente grande. O conteúdo aqui é a convergência da regra dos trapézios composta para funções contínuas, usando a noção de continuidade uniforme e módulo de continuidade.

Passo 2

Como f é contínua em [a,b], pelo Teorema de Heine ela é uniformemente contínua nesse intervalo fechado e limitado. Logo, existe o módulo de continuidade
\omega(f,h)=\max_{|x-y|\le h}|f(x)-f(y)|,
que satisfaz \omega(f,h)\to 0 quando h\to 0. Isso vai permitir controlar o erro da aproximação.

Passo 3

Considere uma partição uniforme a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b com x_k = a + k\,h. Em cada subintervalo [x_{k-1},x_k] a regra dos trapézios usa a reta que interpola \bigl(x_{k-1},f(x_{k-1})\bigr) e \bigl(x_k,f(x_k)\bigr). A diferença entre a área real e a área do trapézio em [x_{k-1},x_k] é, em valor absoluto,
\biggl|\int_{x_{k-1}}^{x_k}f(x)\,\mathrm{d}x \;-\;\frac{h}{2}\bigl(f(x_{k-1})+f(x_k)\bigr)\biggr| \;\le\; \frac{h}{2}\,\omega(f,h),
pois f(x) difere da reta interpoladora em no máximo \omega(f,h).

Passo 4

Somando esse erro sobre os n subintervalos, o erro total E_n satisfaz
|E_n| = \Bigl|\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x - I_{TR}\Bigr| \;\le\; n\cdot\frac{h}{2}\,\omega(f,h) = \frac{(b-a)}{2}\,\omega(f,h).

Passo 5

Como \omega(f,h)\to 0 quando h\to0 (i.e.\ quando n\to\infty), para dado \varepsilon>0 basta escolher h suficientemente pequeno (ou seja, n suficientemente grande) de modo que
\omega(f,h) < \frac{2\varepsilon}{b-a},
implicando
|E_n| \le \frac{b-a}{2}\,\omega(f,h) < \varepsilon.
Isso mostra que I_{TR} pode ficar tão próximo de \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x quanto quisermos.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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