Para qualquer função contínua f(x) é possível escolher o valor de n (número de subintervalos da partição do intervalo de integração) na regra dos Trapézios Repetida de modo que o valor de I_{T R} seja tão próximo de \int_{a}^{b} f(x) d x quando quisermos.
Passo 1
O enunciado afirma que, dada uma função contínua f em [a,b], usando a regra dos trapézios composta com n subintervalos de comprimento h=(b-a)/n, o valor
desde que n seja suficientemente grande. O conteúdo aqui é a convergência da regra dos trapézios composta para funções contínuas, usando a noção de continuidade uniforme e módulo de continuidade.
Passo 2
Como f é contínua em [a,b], pelo Teorema de Heine ela é uniformemente contínua nesse intervalo fechado e limitado. Logo, existe o módulo de continuidade
\omega(f,h)=\max_{|x-y|\le h}|f(x)-f(y)|,
que satisfaz \omega(f,h)\to 0 quando h\to 0. Isso vai permitir controlar o erro da aproximação.
Passo 3
Considere uma partição uniforme a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b com x_k = a + k\,h. Em cada subintervalo [x_{k-1},x_k] a regra dos trapézios usa a reta que interpola \bigl(x_{k-1},f(x_{k-1})\bigr) e \bigl(x_k,f(x_k)\bigr). A diferença entre a área real e a área do trapézio em [x_{k-1},x_k] é, em valor absoluto,
Como \omega(f,h)\to 0 quando h\to0 (i.e.\ quando n\to\infty), para dado \varepsilon>0 basta escolher h suficientemente pequeno (ou seja, n suficientemente grande) de modo que