Calcular as integrais seguintes:
integral0^1 xx^2+2 x+10 d x

Passo 1

Estamos lidando com a integral definida de uma função racional de primeiro grau sobre quadrático, ou seja, conteúdo de integração de xx^2+2x+10. Para resolver, vamos completar o quadrado no denominador, usar substituição e depois aplicar primitiva de logaritmo e arctan.

Passo 2

Primeiro, completamos o quadrado em x^2+2x+10:
x^2 + 2x + 10 = (x+1)^2 + 9

Passo 3

Fazendo a troca de variável u = x+1, obtemos x = u-1, dx = du. Os limites mudam de x=0to u=1 e x=1to u=2. Assim a integral vira
integral0^1 xx^2+2x+10,dx = integral1^2 u-1u^2+9,du

Passo 4

A parte dentro da integral separa em duas frações:
u-1u^2+9 = uu^2+9 - 1u^2+9
Então
integral1^2 u-1u^2+9,du = integral1^2 uu^2+9,du - integral1^2 1u^2+9,du

Passo 5

Para a primeira parte, fazemos t = u^2+9, dt = 2u,du, resultando em
integral uu^2+9,du = 12 ln(u^2+9)
Para a segunda, usamos a primitiva de 1/(u^2+a^2), que é (1/a)arctan(u/a) com a=3:
integral 1u^2+9,du = 13arctanl(u3r)
Logo uma antiderivada comum é
F(u) = 12 ln(u^2+9) - 13arctanl(u3r)

Passo 6

Agora avaliamos nos limites de u=1 a u=2:
F(2)-F(1) = 12(ln(2^2+9)-ln(1^2+9)) - 13l(arctan(tfrac23)-arctan(tfrac13)r) = 12(ln13-ln10) - 13l(arctan(tfrac23)-arctan(tfrac13)r)

Passo 7

Pronto! Esse é o valor exato da integral definida.

Resposta

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