Calcule as seguintes integrais:
\int \frac{x-1}{\sqrt[5]{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x-1}{\sqrt[5]{x}}\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão contém a raiz quinta de x, que pode ser escrita como \sqrt[5]{x}=x^{1/5}.
  • A integral é indefinida (procura-se uma primitiva), logo devemos acrescentar uma constante de integração C no final.
  • A função está definida para x\neq0 (a raiz quinta existe também para x<0, pois é raiz ímpar).

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão transformando a raiz em potência e fazendo a divisão por potências:
\frac{x-1}{\sqrt[5]{x}}=\frac{x-1}{x^{1/5}}.
Usando propriedades de potências ( x/x^{a}=x^{1-a}), escrevemos termo a termo:
\frac{x}{x^{1/5}}=x^{1-\tfrac{1}{5}}=x^{\tfrac{4}{5}}, \qquad \frac{1}{x^{1/5}}=x^{-\tfrac{1}{5}}.
Portanto a integral fica
\int \frac{x-1}{\sqrt[5]{x}}\,dx=\int\bigl(x^{\tfrac{4}{5}}-x^{-\tfrac{1}{5}}\bigr)\,dx.

Passo 3

Vamos lembrar a regra básica de integração que usaremos (regra do poder):
  • Para n\neq -1, tem-se
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde n é o expoente da potência e C é a constante de integração.
Explicando: a derivada de \dfrac{x^{n+1}}{n+1} é \dfrac{n+1}{n+1}x^{n}=x^{n}, por isso essa é uma primitiva de x^{n}.

Passo 4

Aplicamos a regra do poder a cada termo da soma \int\bigl(x^{\tfrac{4}{5}}-x^{-\tfrac{1}{5}}\bigr)\,dx.
Para o primeiro termo, com n=\tfrac{4}{5}:
\int x^{\tfrac{4}{5}}\,dx=\frac{x^{\tfrac{4}{5}+1}}{\tfrac{4}{5}+1}=\frac{x^{\tfrac{9}{5}}}{\tfrac{9}{5}}=\frac{5}{9}\,x^{\tfrac{9}{5}}.
Para o segundo termo, com n=-\tfrac{1}{5}:
\int x^{-\tfrac{1}{5}}\,dx=\frac{x^{-\tfrac{1}{5}+1}}{-\tfrac{1}{5}+1}=\frac{x^{\tfrac{4}{5}}}{\tfrac{4}{5}}=\frac{5}{4}\,x^{\tfrac{4}{5}}.
Como havia um sinal menos entre os termos, juntando os resultados obtemos:
\int\bigl(x^{\tfrac{4}{5}}-x^{-\tfrac{1}{5}}\bigr)\,dx=\frac{5}{9}\,x^{\tfrac{9}{5}}-\frac{5}{4}\,x^{\tfrac{4}{5}}+C.

Passo 5

Vamos checar rapidamente derivando a primitiva encontrada para garantir que voltamos ao integrando:
Derivando \dfrac{5}{9}x^{\tfrac{9}{5}}-\dfrac{5}{4}x^{\tfrac{4}{5}}:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{5}{9}x^{\tfrac{9}{5}}\right)=\frac{5}{9}\cdot\frac{9}{5}x^{\tfrac{9}{5}-1}=x^{\tfrac{4}{5}},
\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{5}{4}x^{\tfrac{4}{5}}\right)=-\frac{5}{4}\cdot\frac{4}{5}x^{\tfrac{4}{5}-1}=-x^{-\tfrac{1}{5}}.
Somando os dois termos obtemos x^{\tfrac{4}{5}}-x^{-\tfrac{1}{5}}, que é exatamente o integrando. Checou!

Resposta

\frac{5}{9}\,x^{\tfrac{9}{5}}-\frac{5}{4}\,x^{\tfrac{4}{5}}+C

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