Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas:
- A expressão contém a raiz quinta de
, que pode ser escrita como . - A integral é indefinida (procura-se uma primitiva), logo devemos acrescentar uma constante de integração
no final. - A função está definida para
(a raiz quinta existe também para , pois é raiz ímpar).
Passo 2
Primeiro simplificamos a expressão transformando a raiz em potência e fazendo a divisão por potências:
Usando propriedades de potências (
), escrevemos termo a termo:
Portanto a integral fica
Passo 3
Vamos lembrar a regra básica de integração que usaremos (regra do poder):
- Para
, tem-se
onde
é o expoente da potência e
é a constante de integração.
Explicando: a derivada de é
, por isso essa é uma primitiva de
.
Explicando: a derivada de
Passo 4
Aplicamos a regra do poder a cada termo da soma
.
Para o primeiro termo, com
:
Para o segundo termo, com
:
Como havia um sinal menos entre os termos, juntando os resultados obtemos:
Passo 5
Vamos checar rapidamente derivando a primitiva encontrada para garantir que voltamos ao integrando:
Derivando
:
Somando os dois termos obtemos
, que é exatamente o integrando. Checou!