Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição:
\int 2^{\left(x^{2}+1\right)} x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral \displaystyle \int 2^{(x^2+1)}\,x\,dx usando o método da substituição. Vamos usar também a propriedade
\int a^u\,du = \frac{a^u}{\ln a}.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^2 + 1.
Derivando,
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.

Passo 3

Reescrevendo a integral em u:
\int 2^{(x^2+1)}\,x\,dx = \int 2^u \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int 2^u\,du.
Usando \displaystyle \int 2^u\,du = \frac{2^u}{\ln 2}, obtemos
\frac{1}{2}\int 2^u\,du = \frac{1}{2}\,\frac{2^u}{\ln 2} = \frac{2^u}{2\ln 2}.

Passo 4

Voltando à variável x e adicionando a constante C:
\frac{2^u}{2\ln 2} + C = \frac{2^{(x^2+1)}}{2\ln 2} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{2^{(x^2+1)}}{2\ln 2} + C

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