Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição:
\int e^{x} \cos \left(2 e^{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado nos pede calcular
\int e^{x}\cos\bigl(2e^{x}\bigr)\,dx
usando o método de substituição. Vamos identificar a substituição que torne a integral mais simples.

Passo 2

Escolhemos
u = 2e^{x}.
Diferenciando, obtemos
du = 2e^{x}\,dx \quad\Longrightarrow\quad e^{x}\,dx = \frac{du}{2}.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int e^{x}\cos\bigl(2e^{x}\bigr)\,dx = \int \cos(u)\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int \cos(u)\,du.

Passo 4

Agora integramos em u:
\int \cos(u)\,du = \sin(u) + C,
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\frac{1}{2}\int \cos(u)\,du = \frac{1}{2}\sin(u) + C.

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u = 2e^{x}:
\frac{1}{2}\sin\bigl(2e^{x}\bigr) + C.

Resposta

\frac{1}{2}\sin\bigl(2e^{x}\bigr) + C

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