Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição:
\int(\operatorname{sen} 4 x+\cos 2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int\bigl(\sin(4x)+\cos(2x)\bigr)\,dx
usando o método da substituição. Vamos precisar das fórmulas básicas
\int \sin(a x)\,dx=-\frac{1}{a}\cos(a x)+C \quad\text{e}\quad \int \cos(a x)\,dx=\frac{1}{a}\sin(a x)+C.

Passo 2

Separemos a integral em duas partes:
\int\sin(4x)\,dx\;+\;\int\cos(2x)\,dx.

Passo 3

Para \displaystyle\int\sin(4x)\,dx, fazemos a substituição u=4x, logo du=4\,dx e dx=\tfrac{du}{4}. Assim,
\int\sin(4x)\,dx =\int\sin(u)\,\frac{du}{4} =\frac{1}{4}\int\sin(u)\,du =-\frac{1}{4}\cos(u) =-\frac{1}{4}\cos(4x).

Passo 4

Para \displaystyle\int\cos(2x)\,dx, fazemos v=2x, então dv=2\,dx e dx=\tfrac{dv}{2}. Temos
\int\cos(2x)\,dx =\int\cos(v)\,\frac{dv}{2} =\frac{1}{2}\int\cos(v)\,dv =\frac{1}{2}\sin(v) =\frac{1}{2}\sin(2x).

Passo 5

Somando os resultados e adicionando a constante de integração C, obtemos
\int\bigl(\sin(4x)+\cos(2x)\bigr)\,dx =-\frac{1}{4}\cos(4x)+\frac{1}{2}\sin(2x)+C.

Resposta

-\frac{1}{4}\cos(4x)+\frac{1}{2}\sin(2x)+C.

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