Nos Problemas 1-18, use a Definição 7.1.1 para determinar mathcal{L}\{f(t)\}\) \(f(t)= \begin{cases}4, & 0 \leq t<2 \\\\ 0, & t \geq 2\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)= \begin{cases} 4, & 0 \le t<2,\\\\ 0, & t\ge2, \end{cases}
usando a definição
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt.

Passo 2

Como f(t)=4 apenas em 0\le t<2 e vale zero para t\ge2, a integral se reduz a
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{2}4\,e^{-st}\,dt.

Passo 3

Calculemos
\int_{0}^{2}4\,e^{-st}\,dt =4\left[\int_{0}^{2}e^{-st}\,dt\right] =4\left[\frac{-1}{s}e^{-st}\right]_{0}^{2} =4\Bigl(\frac{1}{s}\bigl(1-e^{-2s}\bigr)\Bigr).

Resposta

\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\frac{4}{s}\bigl(1-e^{-2s}\bigr).

Exercícios relacionados