Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
integral sen^5 x cos ^4 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral sin^5xcos^4x,dx usando o método da substituição. O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas, e vamos precisar isolar um fator que se encaixe como du após escolher uma substituição.

Passo 2

Primeiro, observe que podemos separar um sin x,dx para usar em du e reescrever o resto em função de cos x. Escrevemos
sin^5xcos^4x,dx = (sin^4x)(sin x,dx)cos^4x
Como sin^2x = 1 - cos^2x, temos sin^4x = (1 - cos^2x)^2. Substituindo isso,
$$
(\sin^{4}x)(\sin x,dx)\cos^{4}x = (1 - \cos{2}x){2}\cos^{4}x,(\sin x,dx).
$$

Passo 3

Agora fazemos a substituição u = cos x. Daí du = -sin x,dx, ou seja, sin x,dx = -du. Substituindo na integral original, obtemos
integral sin^5xcos^4x,dx = -integral u^4(1 - u^2)^2,du
Expandindo (1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4, a integral fica
$$
-\int \bigl(u^{4} - 2u^{6} + u^{8}\bigr),du.
$$

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
-(u^55 - 2cdotu^77 + u^99) + C
Por fim, voltamos a x com u=cos x e simplificamos:
-cos^5x5 + 2cos^7x7 - cos^9x9 + C

Resposta

-\frac{\cos^{5}x}{5} + \frac{2\cos^{7}x}{7} - \frac{\cos^{9}x}{9} + C

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