Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
usando o método da substituição. O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas, e vamos precisar isolar um fator que se encaixe como
após escolher uma substituição.
Passo 2
Primeiro, observe que podemos separar um
para usar em
e reescrever o resto em função de
. Escrevemos
Como
$$
(\sin^{4}x)(\sin x,dx)\cos^{4}x = (1 - \cos{2}x){2}\cos^{4}x,(\sin x,dx).
$$
Passo 3
Agora fazemos a substituição
. Daí
, ou seja,
. Substituindo na integral original, obtemos
Expandindo
$$
-\int \bigl(u^{4} - 2u^{6} + u^{8}\bigr),du.
$$
Passo 4
Agora integramos termo a termo:
Por fim, voltamos a
com
e simplificamos:
Resposta
-\frac{\cos^{5}x}{5} + \frac{2\cos^{7}x}{7} - \frac{\cos^{9}x}{9} + C