Derinadas Parciais
Calcule a matriz Hessinana da funçä
f(x, y)=x^2+sen(x y)

Passo 1

O enunciado pede a matriz Hessiana de f(x,y)=x²+sen(xy). O conteúdo aqui é derivadas parciais de primeira e segunda ordem e a construção da matriz Hessiana, usando a definição de derivadas parciais e a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem. Para f(x,y)=x²+sen(xy) temos:
partial fpartial x=2x+ddxl(sin(xy)r)=2x+ycos(xy)
partial fpartial y=0+ddyl(sin(xy)r)=xcos(xy)

Passo 3

Agora derivamos de novo para obter as segundas derivadas. Aplicamos derivação parcial em f_x e f_y, lembrando da regra da cadeia:
Para f_{xx}:
partial^2 fpartial x^2=partialpartial x(2x+ycos(xy))=2+yl(-sin(xy)cdot yr)=2-y^2sin(xy)
Para f_{xy}:
partial^2 fpartial ypartial x=partialpartial y(2x+ycos(xy))=cos(xy)+yl(-sin(xy)cdot xr)=cos(xy)-xysin(xy)
Para f_{yy}:
partial^2 fpartial y^2=partialpartial y(xcos(xy))=xl(-sin(xy)cdot xr)=-x^2sin(xy)

Passo 4

Por fim, montamos a matriz Hessiana reunindo essas segundas derivadas na forma simétrica: Hf(x,y) é a matriz 2×2 cujos elementos são f_{xx}, f_{xy}=f_{yx} e f_{yy}.

Resposta

Hf(x,y)= 2-y^2sin(xy) & cos(xy)-xysin(xy) cos(xy)-xysin(xy) & -x^2sin(xy)

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