Continuidade
Estude a continuidade das funceos abaixo.
g(x, y)=ccsen(x+y)x y+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 1 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O exercício pede para estudar a continuidade da função de duas variáveis
g(x,y)=sin(x+y)xy+y^2,&(x,y)neq(0,0)1,&(x,y)=(0,0)
O conteúdo aqui é continuidade de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos usar que: 1) quocientes de funções contínuas são contínuos quando o denominador não se anula; 2) para testar continuidade em (0,0) precisamos ver se lim(x,y)to(0,0)g(x,y) existe e é igual a g(0,0)=1.

Passo 2

Para pontos (x0,y0)neq(0,0) em que xy+y^2neq0, temos que a função numerador sin(x+y) e o denominador xy+y^2 são contínuos. Como o denominador não é zero, o quociente é contínuo. Logo, em todo ponto do domínio exceto possivelmente (0,0), g é contínua.

Passo 3

Agora vamos investigar lim(x,y)to(0,0)g(x,y). Se esse limite existir e for 1, g será contínua em (0,0); caso contrário, terá descontinuidade ali.

Passo 4

Escolhemos um caminho simples, por exemplo y=x. Nesse caso:$$
g(x,x)=\frac{\sin(x+x)}{x\cdot x+x2}=\frac{\sin(2x)}{2x2}. g(x,x)=sin(x+x)xcdot x+x^2=sin(2x)2x^2ã
\frac{\sin(2x)}{2x2}\sim\frac{2x}{2x2}=\frac1x,
$$
o que tende a infinito (não converge a 1 nem a qualquer valor finito).

Passo 5

Como pelo menos num caminho o limite não existe (vai a infty), concluímos que
lim(x,y)to(0,0)g(x,y)
não existe e, portanto, não é igual a g(0,0)=1. Logo, g é descontinua em (0,0).

Resposta

A função é contínua em todos os pontos do domínio onde o denominador xy+y^2neq0 (isto é, (x,y)neq(0,0) com y(x+y)neq0) e é descontinua em (0,0).

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