Continuidade
Estude a continuidade das funceos abaixo.
Estude a continuidade das funceos abaixo.
Passo 1
O exercício pede para estudar a continuidade da função de duas variáveis
O conteúdo aqui é continuidade de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos usar que: 1) quocientes de funções contínuas são contínuos quando o denominador não se anula; 2) para testar continuidade em
Passo 2
Para pontos
em que
, temos que a função numerador
e o denominador
são contínuos. Como o denominador não é zero, o quociente é contínuo. Logo, em todo ponto do domínio exceto possivelmente
,
é contínua.
Passo 3
Agora vamos investigar
. Se esse limite existir e for 1,
será contínua em
; caso contrário, terá descontinuidade ali.
Passo 4
Escolhemos um caminho simples, por exemplo
. Nesse caso:$$
g(x,x)=\frac{\sin(x+x)}{x\cdot x+x2}=\frac{\sin(2x)}{2x2}.
\frac{\sin(2x)}{2x2}\sim\frac{2x}{2x2}=\frac1x,
$$
o que tende a infinito (não converge a 1 nem a qualquer valor finito).
o que tende a infinito (não converge a 1 nem a qualquer valor finito).
Passo 5
Como pelo menos num caminho o limite não existe (vai a
), concluímos que
não existe e, portanto, não é igual a
Resposta
A função é contínua em todos os pontos do domínio onde o denominador
(isto é,
com
) e é descontinua em
.