Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
integral e^1 / x+2x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral e^1/x+2x^2,dx usando o método da substituição. Vamos precisar reconhecer uma parte da derivada de 1/x no integrando para facilitar a mudança de variável.

Passo 2

Percebemos que se fizermos a substituição u=1x, então derivando ambos os lados obtemos
du=-1x^2,dx
Reorganizando, temos dxx^2=-du.

Passo 3

Agora reescrevemos a integral em função de u:
integral e^1/x+2x^2,dx = integral (e^u+2)l(-dur) = -integral (e^u+2),du
Para integrar, separamos em duas partes:
-integral e^u,du = -e^u, -integral 2,du = -2u,
logo o resultado em u é -e^u -2u + C.

Passo 4

Finalmente, voltamos à variável x usando u=1/x. Substituindo de volta, obtemos a primitiva:
-e^1/x - 2cdot 1x + C = -e^1/x - 2x + C

Resposta

-e^1/x - tfrac2x + C

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