Seja f:[a, b] longrightarrow R uma função contínua. Determine a solução geral da EDO y^prime prime=f(x) em (a, b).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem y''=f(x), com f contínua em [a,b]. O conteúdo é equações diferenciais ordinárias lineares de segunda ordem não homogêneas (a parte homogênea y''=0), e vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para integrar duas vezes.

Passo 2

Como f é contínua em [a,b], existe uma primitiva F tal que F'=f. Integramos a EDO original uma vez para reduzir a ordem:
y'(x)=integral f(x),dx=F(x)+C1
Aqui C1 é a primeira constante de integração.

Passo 3

Agora integramos novamente para obter y(x). Chamamos de G uma primitiva de F, isto é, G'=F. Assim, integrando y'(x)=F(x)+C1 obtemos:
y(x)=integrall(F(x)+C1r),dx=G(x)+C1x+C2
Onde C2 é a segunda constante de integração.

Resposta

A solução geral da EDO é
y(x)=G(x)+C1x+C2
em que F'=f e G'=F, e C1,C2inR.

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