Verifique que
integral cos (x) e^sin (x) d x=e^sin (x)+c

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a integral indefinida de cos(x)e^sin(x),dx é e^sin(x)+C. O conteúdo aqui é substituição simples (u-substituição), pois reconhecemos que a derivada de sin(x) é cos(x).

Passo 2

Sabemos que ddxsin(x)=cos(x). Então fazemos a troca de variável u=sin(x), o que implica du=cos(x),dx. Assim a integral vira
integral cos(x)e^sin(x),dx = integral e^u,du

Passo 3

Agora integramos em u. A antiderivada de e^u é e^u, logo
integral e^u,du = e^u + C

Passo 4

Finalmente voltamos à variável original x trocando u por sin(x). Assim obtemos e^sin(x)+C, que é exatamente o que queríamos verificar.

Resposta

e^sin(x)+C

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