Calcular as integrais seguintes utilizando o método apropriado:
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver a integral
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com o método de integração por partes. Esse método é útil quando a integral é um produto de duas funções, como é o caso aqui: uma parte é
(uma função polinomial) e a outra é
(uma função exponencial). Vamos precisar identificar quais partes vão ser
e
para aplicar a fórmula de integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula de integração por partes:
Precisamos escolher
e
de forma que
e
sejam mais fáceis de encontrar.
Aqui, vamos escolher:
-
(porque a derivada de é simples) -
(a parte que sobra)
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
:
- Derivada de
:
- Integral de
:
Para resolver essa integral, lembramos que:
Então,
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a integral restante
, que já conhecemos:
Substituindo de volta:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.