Calcular as integrais seguintes utilizando o método apropriado:
integral x cdot e^-2 x d x

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver a integral integral x cdot e^-2x , dx . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com o método de integração por partes. Esse método é útil quando a integral é um produto de duas funções, como é o caso aqui: uma parte é x (uma função polinomial) e a outra é e^-2x (uma função exponencial). Vamos precisar identificar quais partes vão ser u e dv para aplicar a fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Precisamos escolher u e dv de forma que du e v sejam mais fáceis de encontrar.
Aqui, vamos escolher:
  • u = x (porque a derivada de x é simples)
  • dv = e^-2x , dx (a parte que sobra)

Passo 3

Agora, vamos calcular du e v :
  • Derivada de u :
du = ddx(x) , dx = 1 cdot dx = dx
  • Integral de dv :
v = integral e^-2x , dx
Para resolver essa integral, lembramos que:
integral e^ax , dx = 1a e^ax + C
Então,
v = integral e^-2x , dx = -12 e^-2x

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x cdot e^-2x , dx = x cdot (-12 e^-2x) - integral (-12 e^-2x) cdot dx
Simplificando:
= -x2 e^-2x + 12 integral e^-2x , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral restante integral e^-2x , dx , que já conhecemos:
integral e^-2x , dx = -12 e^-2x
Substituindo de volta:
-x2 e^-2x + 12 (-12 e^-2x) + C
= -x2 e^-2x - 14 e^-2x + C

Resposta

A integral integral x cdot e^-2x , dx é igual a:
-e^-2x2 (x + 12) + C
onde C é a constante de integração.

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