Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
6.35 y′ – \frac{3}{x^2} y = \frac{1}{x^2},
que é um caso de equação linear do tipo y′ + p(x) y = q(x). Vamos usar fator integrante para resolver.
6.35 y′ – \frac{3}{x^2} y = \frac{1}{x^2},
que é um caso de equação linear do tipo y′ + p(x) y = q(x). Vamos usar fator integrante para resolver.
Passo 2
Dividimos a equação por 6.35 para pôr na forma padrão y′ + p(x) y = q(x):
Aqui
Passo 3
O fator integrante é
Como
, temos
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Passo 4
Multiplicamos a equação padrão por
. O lado esquerdo vira derivada do produto:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
. No lado direito, usemos a substituição
então
Fica
$$
\int e{\frac{3}{6.35x}},\frac{1}{6.35,x2}dx
= \frac{1}{6.35}\int e\nu,x{-2}dx
= \frac{1}{6.35}\int e^\nu\Bigl(-\frac{6.35}{3}\Bigr)du
= -\frac{1}{3}\int e^\nu du
= -\frac{1}{3}e^\nu + C.
= \frac{1}{6.35}\int e\nu,x{-2}dx
= \frac{1}{6.35}\int e^\nu\Bigl(-\frac{6.35}{3}\Bigr)du
= -\frac{1}{3}\int e^\nu du
= -\frac{1}{3}e^\nu + C.
e^{\frac{3}{6.35x}},y = -\frac{1}{3}e^{\frac{3}{6.35x}} + C.
y = -\frac{1}{3} + C e^{-\frac{3}{6.35x}}.
$$
Resposta
y = C e^{-\tfrac{3}{6.35x}} - \tfrac{1}{3}