6.35 y^prime-3x^2 y=1x^2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
6.35 y′ – \frac{3}{x^2} y = \frac{1}{x^2},
que é um caso de equação linear do tipo y′ + p(x) y = q(x). Vamos usar fator integrante para resolver.

Passo 2

Dividimos a equação por 6.35 para pôr na forma padrão y′ + p(x) y = q(x):
y' - 36.35,x^2,y = 16.35,x^2
Aqui
p(x) = -36.35,x^2,
q(x) = 16.35,x^2

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = e^integral p(x),dx = e^integral -36.35,x^2dx
Como integral x^-2dx = -x^-1, temos
integral -36.35,x^2dx = -36.35(-1x) = 36.35,x
Logo
mu(x) = e^36.35,x

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x). O lado esquerdo vira derivada do produto:
ddxl(e^36.35x,yr) = e^36.35x,16.35,x^2

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x. No lado direito, usemos a substituição
u = 36.35x,
então
du = -36.35x^-2dx implies x^-2dx = -6.353du
Fica
$$
\int e{\frac{3}{6.35x}},\frac{1}{6.35,x2}dx
= \frac{1}{6.35}\int e\nu,x{-2}dx
= \frac{1}{6.35}\int e^\nu\Bigl(-\frac{6.35}{3}\Bigr)du
= -\frac{1}{3}\int e^\nu du
= -\frac{1}{3}e^\nu + C.
integral e^36.35x,16.35,x^2dx = 16.35integral e^nu,x^-2dx = 16.35integral e^nul(-6.353r)du = -13integral e^nu du = -13e^nu + C
e^{\frac{3}{6.35x}},y = -\frac{1}{3}e^{\frac{3}{6.35x}} + C.
x
y = -\frac{1}{3} + C e^{-\frac{3}{6.35x}}.
$$

Resposta

y = C e^{-\tfrac{3}{6.35x}} - \tfrac{1}{3}

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