Calcular as integrais seguintes utilizando o método apropriado:
integral 7 x+3x^2-2 x+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de 7x + 3x^2 - 2x + 1 em relação a x . Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente usando métodos de frações parciais para resolver integrais racionais. Vamos precisar identificar como decompor a fração para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o denominador da fração: x^2 - 2x + 1 . Dá pra fatorar isso, né? Vamos fatorar:
x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2
Então, a integral fica:
integral 7x + 3(x - 1)^2 , dx

Passo 3

Agora, vamos decompôr a fração 7x + 3(x - 1)^2 em termos mais simples usando frações parciais. A ideia é expressar a fração como uma soma de termos mais fáceis de integrar. Vamos supor que:
7x + 3(x - 1)^2 = Ax - 1 + B(x - 1)^2
Onde A e B são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados da equação por (x - 1)^2 para eliminar os denominadores:
7x + 3 = A(x - 1) + B
Agora, expandimos o lado direito:
7x + 3 = A x - A + B

Passo 5

Vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes. Primeiro, os coeficientes de x :
7 = A
Agora, os termos constantes:
3 = -A + B
Sabemos que A = 7 , então substituímos:
3 = -7 + B
B = 10

Passo 6

Agora que encontramos A = 7 e B = 10 , podemos reescrever a fração original:
7x + 3(x - 1)^2 = 7x - 1 + 10(x - 1)^2

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 7x - 1 , dx + integral 10(x - 1)^2 , dx
A primeira integral é uma integral logarítmica, e a segunda é uma integral de uma potência de x .

Passo 8

Integrando:
  1. integral 7x - 1 , dx = 7 ln|x - 1| + C1
  2. integral 10(x - 1)^2 , dx = 10 cdot ( -1x - 1 ) + C2 = -10x - 1 + C2
Onde C1 e C2 são constantes de integração.

Passo 9

Unindo as duas integrais e combinando as constantes:
7 ln|x - 1| - 10x - 1 + C
Onde C = C1 + C2 é a constante geral de integração.

Resposta

A integral de 7x + 3x^2 - 2x + 1 em relação a x é:
7 ln|x - 1| - 10x - 1 + C
Onde C é a constante de integração.

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