Calcular as integrais seguintes utilizando o método apropriado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de
em relação a
. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente usando métodos de frações parciais para resolver integrais racionais. Vamos precisar identificar como decompor a fração para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o denominador da fração:
. Dá pra fatorar isso, né? Vamos fatorar:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos decompôr a fração
em termos mais simples usando frações parciais. A ideia é expressar a fração como uma soma de termos mais fáceis de integrar. Vamos supor que:
Onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos o lado direito:
Passo 5
Vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes. Primeiro, os coeficientes de
:
Agora, os termos constantes:
Sabemos que
, então substituímos:
Passo 6
Agora que encontramos
e
, podemos reescrever a fração original:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
A primeira integral é uma integral logarítmica, e a segunda é uma integral de uma potência de
.
Passo 8
Integrando:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 9
Unindo as duas integrais e combinando as constantes:
Onde
é a constante geral de integração.
Resposta
A integral de
em relação a
é:
Onde
é a constante de integração.