Calcular as integrais seguintes utilizando o método apropriado:
integral x cdot ln 3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral para calcular: integral x cdot ln(3x) , dx. A matéria que vamos usar pra resolver isso é o Cálculo Integral, mais especificamente o método de integração por partes. Vamos precisar entender como aplicar essa técnica, que é como uma ferramenta para separar partes da integral e facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Isso significa que a gente escolhe duas partes da nossa integral para serem u e dv. A escolha certa facilita a resolução.

Passo 3

Agora, vamos escolher u e dv para a nossa integral integral x cdot ln(3x) , dx. Geralmente, escolhemos u como a parte que fica mais simples ao derivar e dv como a parte que conseguimos integrar facilmente. Então:
u = ln(3x) e dv = x , dx

Passo 4

Vamos agora calcular du e v:
Primeiro, derivamos u:
du = ddx [ln(3x)] , dx = 13x cdot 3 , dx = 1x , dx
Agora, integramos dv para encontrar v:
v = integral x , dx = x^22

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x cdot ln(3x) , dx = ln(3x) cdot x^22 - integral x^22 cdot 1x , dx

Passo 6

Vamos simplificar a integral restante:
integral x^22 cdot 1x , dx = integral x2 , dx = 12 integral x , dx = 12 cdot x^22 = x^24

Passo 7

Agora, substituímos de volta na expressão principal:
integral x cdot ln(3x) , dx = x^22 cdot ln(3x) - x^24 + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral integral x cdot ln(3x) , dx é igual a:
x^22 cdot ln(3x) - x^24 + C

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