Calcule as derivadas das funções.
f(x)=\frac{\cos (3 x)}{1+\operatorname{sen}(3 x)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\frac{\cos(3x)}{1+\sin(3x)}.
O conteúdo envolvido é a regra do quociente e a regra da cadeia para derivar \cos(3x) e \sin(3x).

Passo 2

Definimos
u(x)=\cos(3x), \quad v(x)=1+\sin(3x).
Pela regra da cadeia,
u'(x) = -\sin(3x)\,\cdot 3 = -3\sin(3x),
v'(x) = \cos(3x)\,\cdot 3 = 3\cos(3x).

Passo 3

Aplicando a regra do quociente
f'(x) = \frac{u'(x)\,v(x) - u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2} = \frac{(-3\sin(3x))\,(1+\sin(3x)) - \cos(3x)\,(3\cos(3x))}{(1+\sin(3x))^2}.
No numerador:
-3\sin(3x) -3\sin^2(3x) -3\cos^2(3x) = -3\bigl[\sin(3x)+(\sin^2(3x)+\cos^2(3x))\bigr] = -3\bigl[1+\sin(3x)\bigr].
Então
f'(x) = \frac{-3\,[1+\sin(3x)]}{(1+\sin(3x))^2} = -\frac{3}{1+\sin(3x)}.

Resposta

f'(x) = -\frac{3}{1+\sin(3x)}.

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