Calcule as derivadas das funções.
f(x)=\frac{1-\operatorname{sec} (x)}{\operatorname{tg}(x)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{1-\operatorname{sec}(x)}{\operatorname{tg}(x)}.
Aqui vamos usar identidades trigonométricas \operatorname{sec}(x)=1/\cos(x) e \operatorname{tg}(x)=\sin(x)/\cos(x) para simplificar a função antes de derivar, e depois aplicar a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro simplificamos f(x) usando as identidades:
f(x)=\frac{1-\frac{1}{\cos(x)}}{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}} =\frac{\frac{\cos(x)-1}{\cos(x)}}{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}} =\frac{\cos(x)-1}{\sin(x)}.

Passo 3

Agora aplicamos a regra do quociente a
f(x)=\frac{u(x)}{v(x)},\quad u(x)=\cos(x)-1,\;v(x)=\sin(x).
Temos
u'(x)=-\sin(x),\quad v'(x)=\cos(x),
então
f'(x) =\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} =\frac{-\sin(x)\,\sin(x)-(\cos(x)-1)\cos(x)}{\sin^2(x)}.

Passo 4

Simplificando o numerador:
-\sin^2(x)-\cos(x)\,(\cos(x)-1) =-\sin^2(x)-\cos^2(x)+\cos(x) =-(\sin^2(x)+\cos^2(x))+\cos(x) =-1+\cos(x).
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f'(x)=\frac{\cos(x)-1}{\sin^2(x)}.

Resposta

f'(x)=\frac{\cos(x)-1}{\sin^2(x)}.

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