Calcular as integrais seguintes utilizando o método da substituição.
integral 2^x^2+1 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de 2^x^2+1 cdot x , dx usando o método da substituição. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral e técnicas de substituição para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão 2^x^2+1. Sabemos que 2^x^2+1 = 2 cdot 2^x^2. Então, a integral fica:
integral 2^x^2+1 cdot x , dx = 2 integral 2^x^2 cdot x , dx

Passo 3

Agora, vamos usar o método da substituição. Vamos escolher uma parte da função para substituir por uma nova variável u. Aqui, vamos definir:
u = x^2

Passo 4

Com u = x^2, vamos calcular a derivada de u em relação a x para encontrar du:
dudx = 2x implies du = 2x , dx implies x , dx = du2

Passo 5

Substituindo u e x , dx na integral original, temos:
2 integral 2^x^2 cdot x , dx = 2 integral 2^u cdot du2 = integral 2^u , du

Passo 6

Agora, precisamos integrar 2^u em relação a u. A integral de a^u é:
integral a^u , du = a^uln a + C
No nosso caso, a = 2, então:
integral 2^u , du = 2^uln 2 + C

Passo 7

Finalmente, substituímos u = x^2 de volta na expressão:
2^uln 2 + C = 2^x^2ln 2 + C

Resposta

A integral é igual a 2^x^2ln 2 + C, onde C é a constante de integração.

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