Calcule as integrais indefinidas:
integral(4 e^x+8 x^7) d x

Passo 1

Beleza, a gente precisa calcular a integral indefinida de . Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, especificamente sobre como integrar funções. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções exponenciais e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de uma soma é igual à soma das integrais individuais. Ou seja:
integral (4 e^x + 8 x^7) , dx = integral 4 e^x , dx + integral 8 x^7 , dx

Passo 3

Vamos integrar cada termo separadamente. Começando com integral 4 e^x , dx = 4 integral e^x , dx = 4 e^x + C1 . Sabemos que a integral de é . Então:
Aqui, é uma constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos integrar integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C . Para funções polinomiais como integral 8 x^7 , dx = 8 integral x^7 , dx = 8 ( x^88 ) + C2 = x^8 + C2 , usamos a regra:
Aplicando isso:
Aqui, é outra constante de integração.

Passo 5

Agora, somamos as integrais que encontramos:
4 e^x + C1 + x^8 + C2
Como 4 e^x + x^8 + C e são constantes, podemos agrupá-las em uma única constante :

Resposta

integral (4 e^x + 8 x^7) , dx = 4 e^x + x^8 + C

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