Calcule as integrais usando os métodos de integração por partes, substituição ou ambos.
integral x^2 e^x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x^2 e^x , dx. Esse exercício está relacionado aos métodos de integração por partes e, possivelmente, substituição. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar esses métodos passo a passo. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos usar o método de integração por partes, que é baseado na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u e dv. Para integrais envolvendo polinômios e exponenciais, uma boa estratégia é deixar o polinômio como u porque sua derivada vai simplificar o problema.
Vamos definir:
u = x^2 e dv = e^x , dx

Passo 3

Agora, precisamos calcular du e v:
du = ddx(x^2) , dx = 2x , dx
v = integral e^x , dx = e^x

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x^2 e^x , dx = u cdot v - integral v , du = x^2 e^x - integral e^x cdot 2x , dx
Agora, temos uma nova integral para resolver: integral 2x e^x , dx. Vamos simplificar retirando a constante:
integral 2x e^x , dx = 2 integral x e^x , dx

Passo 5

Precisamos resolver integral x e^x , dx. Vamos aplicar novamente a integração por partes. Definimos:
u = x e dv = e^x , dx
Calculando du e v:
du = ddx(x) , dx = 1 , dx
v = integral e^x , dx = e^x

Passo 6

Aplicando a fórmula da integração por partes nessa nova integral:
integral x e^x , dx = u cdot v - integral v , du = x e^x - integral e^x cdot 1 , dx = x e^x - e^x + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Voltando à nossa expressão anterior:
integral x^2 e^x , dx = x^2 e^x - 2 ( x e^x - e^x ) + C
Vamos distribuir o -2:
= x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x + C

Resposta

Portanto, a integral integral x^2 e^x , dx é:
integral x^2 e^x , dx = e^x ( x^2 - 2x + 2 ) + C

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