Calcular as integrais a seguir.
integral2^72 d xraiz5+4 x-x^2

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver a integral definida integral2^72 dxraiz5 + 4x - x^2. Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais que envolvem expressões quadráticas dentro de raízes. Vamos seguir passo a passo para entender como resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz: 5 + 4x - x^2. Isso pode ser reescrito como:
5 + 4x - x^2 = -x^2 + 4x + 5

Passo 3

Para facilitar a integral, vamos completar o quadrado na expressão quadrática. Isso ajuda a transformar a expressão em uma forma que podemos integrar mais facilmente. Completando o quadrado para -x^2 + 4x + 5:
-x^2 + 4x + 5 = -(x^2 - 4x) + 5
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses:
x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4
Então, substituindo de volta:
-(x^2 - 4x) + 5 = -[(x - 2)^2 - 4] + 5 = - (x - 2)^2 + 4 + 5 = 9 - (x - 2)^2

Passo 4

Agora, a integral fica:
integral2^72 dxraiz9 - (x - 2)^2
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos definir u = x - 2. Então, du = dx.
Quando x = 2, u = 0; e quando x = 72, u = 72 - 2 = 32.

Passo 5

Substituindo na integral:
integral0^32 duraiz9 - u^2
Essa é uma integral padrão que resulta em uma função arco seno. A fórmula que usamos aqui é:
integral duraiza^2 - u^2 = arcsin(ua) + C
Onde a = 3 no nosso caso.

Passo 6

Aplicando a fórmula:
arcsin(u3) g|0^32 = arcsin(323) - arcsin(03)
Simplificando:
arcsin(12) - arcsin(0)
Sabemos que arcsin(12) = pi6 e arcsin(0) = 0.

Resposta

Portanto, o valor da integral é pi6.

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