Use o Teorema de Stokes para calcular
, onde
e
é o triângulo orientado positivamente de vértices
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem que usar o Teorema de Stokes pra trocar a integral de linha
por uma integral de superfície de .
Conteúdo: campos vetoriais, rotacional (curl) e Teorema de Stokes.
O que vamos precisar:
por uma integral de superfície de
Conteúdo: campos vetoriais, rotacional (curl) e Teorema de Stokes.
O que vamos precisar:
- Calcular
. - Escolher uma parametrização simples para o triângulo
no plano . - Fazer
.
Passo 2
Teorema de Stokes diz que, se
é a fronteira de uma superfície
com orientação bem escolhida, então
Aqui
a gente pode substituir por
quando usar parametrização
.
Passo 3
Vamos achar o rotacional de
Por definição,
onde
,
,
.
Calculemos cada parcela:
Calculemos cada parcela:
Logo
Passo 4
Parametrização do triângulo
no plano
:
com domínio
Calculemos
Calculemos
Então
O produto escalar com
é
Ou seja, o integrando é constante
.
Passo 5
A integral de superfície vira
E
é um triângulo de área
. Logo