Use o Teorema de Stokes para calcular integralC F cdot d r, onde F(x, y, z)=(x+y^2) i+(y+z^2) j+(z+x^2) k e C é o triângulo orientado positivamente de vértices (1,0,0),(0,1,0)

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem que usar o Teorema de Stokes pra trocar a integral de linha
ointC Fcdot dr
por uma integral de superfície de nablatimes F.
Conteúdo: campos vetoriais, rotacional (curl) e Teorema de Stokes.
O que vamos precisar:
  1. Calcular nablatimes F.
  2. Escolher uma parametrização simples para o triângulo S no plano x+y+z=1.
  3. Fazer integral duplaS(nablatimes F)cdot n,dS.

Passo 2

Teorema de Stokes diz que, se C é a fronteira de uma superfície S com orientação bem escolhida, então
ointC Fcdot dr ;=;integral duplaS (nablatimes F)cdot n,dS
Aqui n,dS a gente pode substituir por (rutimes rv),du,dv quando usar parametrização r(u,v).

Passo 3

Vamos achar o rotacional de
F(x,y,z)=(x+y^2),i+(y+z^2),j+(z+x^2),k
Por definição,
nablatimes F =l(Ry - Qz,;Pz-Rx,;Qx-Pyr),
onde P=x+y^2, Q=y+z^2, R=z+x^2.
Calculemos cada parcela:
Ry=partialpartial y(z+x^2)=0, Qz=partialpartial z(y+z^2)=2z ;;Longrightarrow;; (Ry-Qz)=-2z,
Pz=partialpartial z(x+y^2)=0, Rx=partialpartial x(z+x^2)=2x ;;Longrightarrow;; (Pz-Rx)=-2x,
Qx=partialpartial x(y+z^2)=0, Py=partialpartial y(x+y^2)=2y ;;Longrightarrow;; (Qx-Py)=-2y
Logo
nablatimes F=(-2z,;-2x,;-2y)

Passo 4

Parametrização do triângulo S no plano x+y+z=1:
r(u,v)=(u,;v,;1-u-v),
com domínio D=(u,v):u>=0,;v>=0,;u+v<=1
Calculemos
ru=(1,0,-1), rv=(0,1,-1) Longrightarrow rutimes rv=(1,1,1)
Então
(nablatimes F)l(r(u,v)r);=; l(-2(1-u-v),,-2u,,-2vr)
O produto escalar com rutimes rv é
(-2(1-u-v),,-2u,,-2v)cdot(1,1,1) =-2(1-u-v)-2u-2v=-2
Ou seja, o integrando é constante -2.

Passo 5

A integral de superfície vira
integral duplaS(nablatimes F)cdot n,dS =integral duplaD (nablatimes F)cdot(rutimes rv),du,dv =integral duplaD (-2),du,dv
E D é um triângulo de área tfrac12. Logo
integral duplaD(-2),du,dv =-2cdot12 =-1

Resposta

ointC Fcdot dr=-1

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