A e B são locadoras de automóvel. A locadora A cobra 2 reais por quilômetro rodado mais uma taxa fixa de 100 reais. Já a locadora B cobra 1 real por quilômetro rodado mais uma taxa fixa de 200 reais.
(a) Em cada caso, encontre a função que associa a quilometragem ao preço cobrado. Determine o domínio adequado para cada função e esboce os gráficos.
(b) Quando é mais vantajoso escolher a locadora A ou a locadora B ?
(c) Existe algum valor de quilometragem para o qual o preço cobrado por A é igual a 32 do preço cobrado por B ?
(d) Existe algum valor de quilometragem para ao qual o preço cobrado por A é o dobro do preço cobrado por B ?

Passo 1

O enunciado trata de modelar o custo de aluguel de carro como função da quilometragem percorrida, usando funções afins (retas). Vamos:
1. Definir as funções de custo de cada locadora em função de x (quilômetros rodados).
2. Determinar o domínio natural (não é possível rodar quilômetros negativos).
3. Esboçar o gráfico das retas correspondentes.
4. Comparar custos para decidir qual locadora é mais vantajosa.
5. Resolver as equações que igualam o custo de A a 3/2 e a 2 vezes o custo de B.

Passo 2

A locadora A cobra uma taxa fixa de 100 reais mais 2 reais por km. A locadora B cobra 200 reais fixos mais 1 real por km. Logo, as funções são
fA(x) = 100 + 2x,
fB(x) = 200 + 1x
Como não faz sentido percorrer quilometragem negativa, o domínio de ambas é
xinRmid x>= 0

Passo 3

Cada gráfico é uma reta no plano x>=0:
  • Para fA: intercepto em (0,100) e inclinação 2.
  • Para fB: intercepto em (0,200) e inclinação 1.
    Elas se cruzam onde
100+2x = 200 + x
que dá x=100 e custo comum fA(100)=fB(100)=300.
No esboço, a reta de A parte mais abaixo e sobe mais rápido; a de B parte mais alto e sobe mais devagar.

Passo 4

Para descobrir quando A é mais barata que B, resolvemos
100 + 2x < 200 + x
Subtraindo x e 100 de ambos os lados:
x < 100
Logo, para 0 <= x < 100 km a locadora A é mais vantajosa; para x>100 km, B é mais vantajosa; em x=100, empata.

Passo 5

Queremos fA(x) = tfrac32,fB(x), ou seja
100 + 2x = tfrac32,(200 + x)
Multiplicando por 2:
200 + 4x = 600 + 3x Longrightarrow x = 400
Esse valor está no domínio, e de fato
fA(400)=100+800=900, fB(400)=200+400=600, 900=tfrac32cdot600

Passo 6

Queremos fA(x) = 2,fB(x), ou seja
100 + 2x = 2,(200 + x) = 400 + 2x
Isso leva a
100 + 2x = 400 + 2x Longrightarrow 100 = 400,
que é impossível. Portanto, não existe x que satisfaça essa condição.

Resposta

(a)
fA(x)=100+2x, fB(x)=200+x, x>=0
O gráfico de fA é reta com intercepto (0,100) e inclinação 2; o de fB tem intercepto (0,200) e inclinação 1. As retas se cruzam em (100,300).
(b) Para 0<= x<100 km, A é mais vantajosa; para x>100 km, B é mais vantajosa; em x=100 o custo empata.
(c) Sim: em x=400 km temos fA(400)=tfrac32,fB(400).
(d) Não existe quilometragem que torne fA(x) o dobro de fB(x).

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