Um papelão quadrado com
de área deve ser transformado em uma caixa sem tampa que permita o volume máximo. Determinar a medida
do lado de cada quadrado que será retirado nos quatro cantos do papelão.
Passo 1
Beleza, olha o que o exercício pede: temos um quadrado de papelão com área de
e vamos cortar quatro quadradinhos de lado
(um em cada canto) para dobrar as abas e formar uma caixa sem tampa. A parada aqui é montar uma função que dê o volume dessa caixa em função de
, usar cálculo (derivada) pra achar o valor de
que deixa esse volume máximo. Então, vamos precisar de:
- Determinar o lado do quadrado original.
- Montar a expressão do volume
. - Derivar, achar os pontos críticos e identificar o máximo.
Passo 2
Primeiro, qual o lado do quadrado? Se a área é
, temos
Depois de recortar quadrados de lado
, as dimensões da base da caixa ficam
por
, e a altura é
. Logo, o volume é
Passo 3
Pra achar o
que maximiza
, a gente deriva e zera a derivada.
- Escreve
. - Usa regra do produto:
- Simplifica:
Passo 4
Agora, achamos onde
:
Mas se
, a base vira
, não faz caixa. Então o único que interessa é
. Como num problema desse tipo a gente vê que a função cresce até
e depois decresce (ou faz o teste da segunda derivada), concluímos que ali é o máximo.
Resposta
O valor de
que maximiza o volume da caixa é
.