Um papelão quadrado com 14400 cm^2 de área deve ser transformado em uma caixa sem tampa que permita o volume máximo. Determinar a medida x do lado de cada quadrado que será retirado nos quatro cantos do papelão.

Passo 1

Beleza, olha o que o exercício pede: temos um quadrado de papelão com área de 14400 cm^2 e vamos cortar quatro quadradinhos de lado x (um em cada canto) para dobrar as abas e formar uma caixa sem tampa. A parada aqui é montar uma função que dê o volume dessa caixa em função de x, usar cálculo (derivada) pra achar o valor de x que deixa esse volume máximo. Então, vamos precisar de:
  1. Determinar o lado do quadrado original.
  2. Montar a expressão do volume V(x).
  3. Derivar, achar os pontos críticos e identificar o máximo.

Passo 2

Primeiro, qual o lado do quadrado? Se a área é 14400, temos
L^2 = 14400 Longrightarrow L = raiz14400 = 120 cm
Depois de recortar quadrados de lado x, as dimensões da base da caixa ficam (120 - 2x) por (120 - 2x), e a altura é x. Logo, o volume é
V(x) = base1 times base2 times a<ura = x,(120 -2x)^2

Passo 3

Pra achar o x que maximiza V(x), a gente deriva e zera a derivada.
  1. Escreve V(x) = x(120-2x)^2.
  2. Usa regra do produto:
V'(x) = 1cdot(120-2x)^2 + xcdot 2(120-2x)cdot(-2)
  1. Simplifica:
V'(x) = (120-2x)^2 -4x(120-2x) = (120-2x)l[(120-2x) - 4xr] = (120-2x)(120 -6x)

Passo 4

Agora, achamos onde V'(x)=0:
(120-2x)(120-6x)=0 Longrightarrow x=60 ou x=20
Mas se x=60, a base vira 120-2cdot60=0, não faz caixa. Então o único que interessa é x=20. Como num problema desse tipo a gente vê que a função cresce até x=20 e depois decresce (ou faz o teste da segunda derivada), concluímos que ali é o máximo.

Resposta

O valor de x que maximiza o volume da caixa é 20 cm.

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