Calcular as integrais usando as substituições indicadas:
integral0^pi d t3+2 cos t tan (t2)=z;

Passo 1

A questão pede para calcular a integral integral0^pi dt3 + 2cos t usando a substituição de Weierstrass z = tan(tfrac t2). Vamos usar conhecimentos de transformação de variáveis em integrais definidas e as fórmulas cos t e dt em função de z.

Passo 2

Sabemos que, com z = tan(tfrac t2), vale a identidade de Weierstrass:
cos t = 1 - z^21 + z^2, dt = 2,dz1 + z^2

Passo 3

Substituindo na integral original, observamos também que quando t = 0 temos z = 0 e quando t = pi temos z = tan(tfracpi2) = +infty. Assim:
integral0^pi dt3 + 2cos t = integral0^+infty 2,dz1 + z^23 + 2cdot1 - z^21 + z^2

Passo 4

O denominador fica
3 + 2cdot1 - z^21 + z^2 = 3(1+z^2) + 2(1 - z^2)1+z^2 = 5 + z^21 + z^2

Passo 5

Logo o integrando simplifica para
21 + z^2 cdot 1 + z^25 + z^2 = 25 + z^2

Passo 6

Portanto a integral se reduz a
integral0^+infty 2,dz5 + z^2 = 2 integral0^+infty dzz^2 + 5

Passo 7

Essa é uma integral do tipo integral dz/(z^2 + a^2) = tfrac1aarctan(z/a). Tomando a = raiz5, temos
2 integral0^+infty dzz^2 + 5 = 2 cdot 1raiz5 l[arctanl(tfraczraiz5r)r]0^+infty = 2raiz5 cdot pi2 = piraiz5

Resposta

piraiz5

Exercícios relacionados