Calcular as integrais usando as substituições indicadas:
integral0^ln 2 raize^x-1 d x e^x-1=z^2;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral0^ln 2 raize^x-1,dxusando a substituição indicada e^x-1=z^2. Vamos aplicar o método de substituição passo a passo.

Passo 2

Fazendo a troca de variável definimos: e^x-1=z^2Diferenciando ambos os lados obtemos: e^x,dx = 2z,dze, como e^x=z^2+1, temos: dx = 2zz^2+1,dz

Passo 3

Precisamos também mudar os limites de integração. Quando x=0, e^0-1=0 então z=0. Quando x=ln2, e^ln2-1=2-1=1 então z=1. Agora reescrevemos a integral original em termos de z: integral0^ln2raize^x-1,dx = integral0^1 z cdot 2zz^2+1,dz = integral0^1 2z^2z^2+1,dz

Passo 4

Para integrar integral0^12z^2z^2+1,dz fazemos a divisão algébrica no integrando:
2z^2z^2+1 = 2cdotz^2+1-1z^2+1 = 2l(1 - 1z^2+1r) = 2 - 2z^2+1

Passo 5

Então a integral torna-se:$$\int_{0}^{1}\Bigl(2 - \frac{2}{z^{2}+1}\Bigr)dz = \int_{0}^{1}2,dz - 2\int_{0}{1}\frac{1}{z{2}+1},dz.
$$

Passo 6

Agora calculamos cada parte:
integral0^12,dz = 2z|0^1 = 2,

Passo 7

integral0^11z^2+1,dz = arctan(z)|0^1 = pi4

Passo 8

Juntando os resultados:
2 - 2cdotpi4 = 2 - pi2

Resposta

2 - \tfrac{\pi}{2}

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