Calcular as integrais usando as substituições indicadas:
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
usando a substituição indicada
. Vamos aplicar o método de substituição passo a passo.
Passo 2
Fazendo a troca de variável definimos:
Diferenciando ambos os lados obtemos:
e, como
, temos:
Passo 3
Precisamos também mudar os limites de integração. Quando
,
então
. Quando
,
então
. Agora reescrevemos a integral original em termos de
:
Passo 4
Para integrar
fazemos a divisão algébrica no integrando:
Passo 5
Então a integral torna-se:$$\int_{0}^{1}\Bigl(2 - \frac{2}{z^{2}+1}\Bigr)dz = \int_{0}^{1}2,dz - 2\int_{0}{1}\frac{1}{z{2}+1},dz.
$$
Passo 6
Agora calculamos cada parte:
Passo 7
Passo 8
Juntando os resultados:
Resposta
2 - \tfrac{\pi}{2}