Calcular as integrais usando as substituições indicadas:
integral0^pi / 2 d x1+a^2 sen^2 x tan x=t.

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral
de
integral0^pi/2dx1 + a^2sin^2 x
usando a substituição tan x = t. Esse tipo de integral cai no conteúdo de integrais de funções trigonométricas, e vamos transformar tudo numa integral racional em t.

Passo 2

Fazendo tan x = t, temos os seguintes elementos:
sin^2 x = t^21+t^2,
dx = dt1+t^2
Além disso, os limites mudam: quando x=0 então t=0, e quando x=pi/2 então ttoinfty. Essas relações vêm do triângulo retângulo associado e da derivada de tan x.

Passo 3

Substituindo na integral original, o denominador fica
1 + a^2sin^2 x = 1 + a^2t^21+t^2 = 1 + (1+a^2)t^21+t^2,
e o elemento dx/(1 + a^2sin^2 x) vira
dt/(1+t^2)l(1 + (1+a^2)t^2r)/(1+t^2) = dt1 + (1+a^2)t^2
Portanto a integral se torna
integral0^inftydt1 + (1+a^2)t^2

Passo 4

Reconhecemos a forma padrão
integral du1 + beta^2u^2 = 1betaarctanl(beta ur) + C
com beta = raiz1+a^2. Assim, uma primitiva é
integral dt1 + (1+a^2)t^2 = 1raiz1+a^2arctanl(traiz1+a^2r)

Passo 5

Agora aplicamos os limites de 0 a infty:
1raiz1+a^2l[arctanl(traiz1+a^2r)r]0^infty = 1raiz1+a^2l(tfracpi2 - 0r) = pi2raiz1+a^2

Resposta

pi2raiz1+a^2

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