Calcular a integral integral0^1 integral0^1|y-x^2| d x d y

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
integral0^1integral0^1l|y - x^2r|,dx,dy
Aqui vamos usar o fato de que, para lidar com valor absoluto, precisamos dividir a região de integração onde o sinal de y - x^2 muda, isto é, ao longo da curva y = x^2.

Passo 2

Para cada xin[0,1], a reta horizontal ymapsto y cruza a parábola em y=x^2.
  • Se 0<= y<= x^2, então y - x^2<=0 e l|y - x^2r| = x^2-y.
  • Se x^2<= y<=1, então y - x^2>=0 e l|y - x^2r| = y-x^2.
    Logo, fixando x,
integral0^1l|y - x^2r|,dy =integral0^x^2(x^2-y),dy +integralx^2^1(y - x^2),dy

Passo 3

Calculemos cada uma:
integral0^x^2(x^2-y),dy =l[x^2y-tfracy^22r]0^x^2 =tfracx^42,
integralx^2^1(y - x^2),dy =l[tfracy^22-x^2yr]x^2^1 =l(tfrac12 -x^2r)-l(tfracx^42-x^4r) =tfrac12 -x^2+tfracx^42
Somando as duas parcelas obtemos
integral0^1l|y - x^2r|,dy =tfracx^42+l(tfrac12 -x^2+tfracx^42r) =tfrac12 -x^2+x^4

Passo 4

Agora reintegramos em x de 0 a 1:
integral0^1l(tfrac12 -x^2+x^4r),dx =l[tfrac12 x-tfracx^33+tfracx^55r]0^1 =tfrac12 -tfrac13 +tfrac15 =tfrac1130

Resposta

1130

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