Calcule a integral dupla de f(x, y)=2 x-x^2 sobre a região D , onde:
D=(x, y) / 0 <= x <= 1, raizx <= y <= 2-x

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla de f(x,y)=2x - x^2 sobre a região
D = (x,y)mid 0 <= x <= 1,;raizx <= y <= 2 - x
O conteúdo é cálculo de integrais duplas via teorema de Fubini: vamos primeiro integrar em y e depois em x.

Passo 2

Escrevemos a integral iterada na ordem dy,dx:
integral duplaD (2x - x^2),dA = integralx=0^1 l(integraly=raizx^2-x(2x - x^2),dyr)dx

Passo 3

Como 2x - x^2 independe de y, a integral interna é
integralraizx^2-x(2x - x^2),dy = (2x - x^2)l[(2-x) - raizxr]

Passo 4

Definimos
I = integral0^1(2x - x^2)l[(2-x) - raizxr],dx = integral0^1l(4x - 4x^2 + x^3 - 2x^3/2 + x^5/2r),dx

Passo 5

Integramos termo a termo:
integral0^14x,dx = 2, integral0^1-4x^2,dx = -tfrac43, integral0^1x^3,dx = tfrac14,
integral0^1-2x^3/2,dx = -2cdottfrac25 = -tfrac45, integral0^1x^5/2,dx = tfrac27
Somando tudo:
2 - tfrac43 + tfrac14 - tfrac45 + tfrac27 = 169420

Resposta

integral duplaD (2x - x^2),dA = 169420

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