Ao calcular a integral integral x^3raiza^2+x^2 d x encontramos
Alternativas:
13(x^2-2 a^2)+c
raiza^2+x^2(x^2-2 a^2)+c
-13 raiza^2+x^2(x^2-2 a^2)+c
13 raiza^2+x^2(x^2+2 a^2)+c
13 raiza^2+x^2(x^2-2 a^2)+c

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x^3raiza^2+x^2 dx. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, mais especificamente integrais que envolvem substituição trigonométrica ou algebraica. Vamos precisar usar a técnica de substituição para simplificar essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para tornar a integral mais fácil de resolver. Vamos definir u = a^2 + x^2. Com essa substituição, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx.

Passo 3

Calculando a derivada de u:
dudx = 2x Rightarrow dx = du2x
Agora, vamos substituir u e dx na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral:
integral x^3raiza^2+x^2 dx = integral x^3raizu cdot du2x = 12 integral x^2raizu du
Sabemos que x^2 = u - a^2, então podemos substituir isso na integral.

Passo 5

Substituindo x^2:
12 integral u - a^2raizu du = 12 integral (u^12 - a^2 u^-12) du
Agora, vamos integrar termo a termo.

Passo 6

Integrando cada termo:
12 ( 23 u^32 - 2a^2 u^12 ) + C = 13 u^32 - a^2 u^12 + C
Agora, vamos voltar para a variável original x substituindo u = a^2 + x^2.

Passo 7

Voltando para x:
13 (a^2 + x^2)^32 - a^2 (a^2 + x^2)^12 + C
Podemos fatorar (a^2 + x^2)^12 para simplificar a expressão.

Passo 8

Fatorando:
( 13 (a^2 + x^2) - a^2 ) (a^2 + x^2)^12 + C = 13 (x^2 - 2a^2) raiza^2 + x^2 + C

Resposta

A resposta correta é:
13 raiza^2+x^2(x^2-2 a^2)+c

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