Dada a função f(x)=x^2,-1 <= x<1, com f(x+2)=f(x).
Use (a) para encontrar um valor para a soma 1-14+19-116+cdots

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função definida no intervalo de e que se repete a cada 2 unidades, ou seja, . O conteúdo aqui envolve séries de Fourier, que ajudam a representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Para resolver, vamos precisar entender como expandir em uma série de Fourier e usar isso para encontrar a soma .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função periódica pode ser representada por uma série de Fourier, que no caso de uma função par (como f(x) = a0 + sumn=1^infty an cos(npi xL) ) só tem termos de cosseno. A série de Fourier geral para uma função par no intervalo f(x) = a0 + sumn=1^infty an cos(npi x) é:
No nosso caso, porque a função tem período 2, então a fórmula fica:

Passo 3

Vamos encontrar os coeficientes a0 = 12L integral-L^L f(x) , dx e a0 = 12 integral-1^1 x^2 , dx = 12 [ x^33 ]-1^1 = 12 ( 13 - (-13) ) = 13 . O coeficiente é dado por:
Substituindo e :

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes an = 1L integral-L^L f(x) cos(npi xL) , dx :
an = integral-1^1 x^2 cos(npi x) , dx
Com an = 2 integral0^1 x^2 cos(npi x) , dx e :
Como e são funções pares, podemos simplificar:

Passo 5

Para resolver essa integral, usamos integração por partes. Vamos definir:
u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx
dv = cos(npi x) , dx Rightarrow v = sin(npi x)npi
Aplicando integração por partes:
integral x^2 cos(npi x) , dx = x^2 sin(npi x)npi - integral 2x sin(npi x)npi , dx
Repetimos a integração por partes para a segunda integral. Após resolver, acabamos com:
an = 4(-1)^nn^2 pi^2

Passo 6

Agora que temos os coeficientes, a série de Fourier fica:
f(x) = 13 + sumn=1^infty 4(-1)^nn^2 pi^2 cos(npi x)
Para encontrar a soma f(0) = 13 + sumn=1^infty 4(-1)^nn^2 pi^2 , vamos avaliar 0 = 13 + sumn=1^infty 4(-1)^nn^2 pi^2 . Quando , , então:
Mas , então:

Resposta

Resolvendo a equação acima, encontramos que:
sumn=1^infty (-1)^nn^2 = -pi^212
Portanto, a soma é igual a .

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