Dada a função
, com
.
Use (a) para encontrar um valor para a soma
Use (a) para encontrar um valor para a soma
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função
definida no intervalo de
e que se repete a cada 2 unidades, ou seja,
. O conteúdo aqui envolve séries de Fourier, que ajudam a representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Para resolver, vamos precisar entender como expandir
em uma série de Fourier e usar isso para encontrar a soma
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função periódica pode ser representada por uma série de Fourier, que no caso de uma função par (como
) só tem termos de cosseno. A série de Fourier geral para uma função par no intervalo
é:
No nosso caso,
porque a função tem período 2, então a fórmula fica:
Passo 3
Vamos encontrar os coeficientes
e
. O coeficiente
é dado por:
Substituindo
e
:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
:
Com
e
:
Como
e
são funções pares, podemos simplificar:
Passo 5
Para resolver essa integral, usamos integração por partes. Vamos definir:
Aplicando integração por partes:
Repetimos a integração por partes para a segunda integral. Após resolver, acabamos com:
Passo 6
Agora que temos os coeficientes, a série de Fourier fica:
Para encontrar a soma
, vamos avaliar
. Quando
,
, então:
Mas
, então:
Resposta
Resolvendo a equação acima, encontramos que:
Portanto, a soma
é igual a
.