Descreva a forma de uma equação de Ricatti, e como resolvê-la.

Passo 1

A questão pede para descrever o formato geral da equação de Riccati e explicar como resolvê-la, usando como conteúdo ODE de primeira ordem não linear e o método de redução a uma equação linear quando tivermos uma solução particular.

Passo 2

A forma geral de uma equação de Riccati é
y'(x)=a(x)+b(x)y(x)+c(x)y(x)^2 onde a(x), b(x) e c(x) são funções conhecidas de x.

Passo 3

Suponha que a gente conheça uma solução particular y1(x) dessa equação; o truque é fazer a substituição
y(x)=y1(x)+1u(x) para transformar a Riccati numa ODE linear de primeira ordem em u(x).

Passo 4

Derivando e substituindo na equação original, obtemos uma equação da forma
u'(x)+l[b(x)+2c(x)y1(x)r]u(x)+c(x)=0 que é linear em u(x).

Passo 5

Resolvemos essa ODE linear usando fator integrante: encontramos
mu(x)=expl(integral [b(x)+2c(x)y1(x)],dxr) e escrevemos a solução geral de u(x) como
u(x)=1mu(x)l(integral -c(x)mu(x),dx +Cr) por fim, voltamos à variável original com
y(x)=y1(x)+1u(x)

Resposta

A equação de Riccati é
y'=a(x)+b(x)y+c(x)y^2
com solução obtida quando encontramos uma solução particular y1(x) e fazemos a substituição y=y1+1/u, transformando-a numa ODE linear em u, que se resolve por fator integrante. A solução geral é depois dada por y=y1+1/u.

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