Verifique se a função definida por partes é uma solução para a equação diferencial dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial do tipo
e uma função definida por partes:
Nosso objetivo é verificar se essa função
satisfaz a equação diferencial dada. Para isso, precisamos entender um pouco sobre equações diferenciais e funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser solução de uma equação diferencial. Basicamente, queremos que, ao substituir a função
na equação, a igualdade se mantenha verdadeira para todos os valores de
no domínio considerado.
No nosso caso, precisamos calcular a derivada de
,
, e substituir tanto
quanto
na equação
para ver se a igualdade vale.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
para cada parte da função.
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na equação diferencial
para cada intervalo de
.
Primeiro, para
:
A igualdade se mantém, então a função satisfaz a equação nesse intervalo.
Agora, para
:
Mais uma vez, a igualdade vale, então a função também satisfaz a equação nesse intervalo.
Resposta
Sim, a função definida por partes é solução da equação diferencial
para todos os valores de
.