Verifique se a função definida por partes é uma solução para a equação diferencial dada.
x y^prime-2 y=0 ; y=ccx^2, & se x >= 0 -x^2, & se x<0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial do tipo y = x^2, & se x >= 0 - x^2, & se x < 0 e uma função definida por partes:
Nosso objetivo é verificar se essa função satisfaz a equação diferencial dada. Para isso, precisamos entender um pouco sobre equações diferenciais e funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser solução de uma equação diferencial. Basicamente, queremos que, ao substituir a função na equação, a igualdade se mantenha verdadeira para todos os valores de no domínio considerado.
No nosso caso, precisamos calcular a derivada de , , e substituir tanto quanto na equação para ver se a igualdade vale.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de y = x^2 implies y' = 2x para cada parte da função.
Para y = -x^2 implies y' = -2x :
Para :

Passo 4

Agora, vamos substituir x cdot y' - 2 y = x cdot (2x) - 2(x^2) = 2x^2 - 2x^2 = 0 e x cdot y' - 2 y = x cdot (-2x) - 2(-x^2) = -2x^2 + 2x^2 = 0 na equação diferencial para cada intervalo de .
Primeiro, para :
A igualdade se mantém, então a função satisfaz a equação nesse intervalo.
Agora, para :
Mais uma vez, a igualdade vale, então a função também satisfaz a equação nesse intervalo.

Resposta

Sim, a função definida por partes é solução da equação diferencial para todos os valores de .

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