Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças
numa partícula que se move ao longo da curva C
,
de
a
.
de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o trabalho realizado por um campo de forças
quando uma partícula se move ao longo de uma curva
dada pelas equações paramétricas:
de
a
.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de integração de linha no cálculo vetorial, que nos ajuda a calcular o trabalho feito por um campo de forças ao longo de uma trajetória.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o trabalho
realizado por um campo de forças
ao longo de uma curva
pode ser calculado pela integral de linha:
Aqui,
representa o produto escalar entre o campo de forças e o vetor diferencial de posição ao longo da curva.
Passo 3
Vamos parametrizar a curva
usando o parâmetro
. As equações paramétricas já estão dadas:
Precisamos também determinar os limites de
que correspondem aos pontos iniciais
e finais
.
Passo 4
Para encontrar os limites de
, vamos resolver para
nas equações de
e
:
-
No ponto inicial
: Isso acontece quando, ou seja, . -
No ponto final
: Isso ocorre quando, ou seja, .
Então, os limites de integração são de
a
.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a derivada de
, que é o vetor posição:
Calculando as derivadas:
Portanto:
Passo 6
Vamos agora substituir
e
na integral de linha:
Então, o produto escalar é:
Passo 7
Substituímos as expressões de
,
,
e
na integral:
Simplificando:
Passo 8
Essa integral pode ser bastante complexa para resolver exatamente, mas vamos perceber que o campo de forças
é conservativo. Ou seja, existe uma função potencial
tal que
.
Vamos encontrar essa função potencial:
Portanto:
Como o trabalho em um campo conservativo é a diferença do potencial nos pontos final e inicial:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de forças é
unidades de trabalho.