Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças F(x, y)=2 x i+2 y j numa partícula que se move ao longo da curva C x=(cos (t))(t^2+5)
y=raizt-pi2 sin (t),
de (5,0) a (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o trabalho realizado por um campo de forças x = cos(t)(t^2 + 5) quando uma partícula se move ao longo de uma curva y = raizt - pi2 sin(t) dada pelas equações paramétricas:
de a .
Para resolver isso, vamos usar o conceito de integração de linha no cálculo vetorial, que nos ajuda a calcular o trabalho feito por um campo de forças ao longo de uma trajetória.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o trabalho W = integralC F cdot dr realizado por um campo de forças ao longo de uma curva pode ser calculado pela integral de linha:
Aqui, representa o produto escalar entre o campo de forças e o vetor diferencial de posição ao longo da curva.

Passo 3

Vamos parametrizar a curva x(t) = cos(t)(t^2 + 5) usando o parâmetro y(t) = raizt - pi2 sin(t) . As equações paramétricas já estão dadas:
Precisamos também determinar os limites de que correspondem aos pontos iniciais e finais .

Passo 4

Para encontrar os limites de x(t) = 5 Rightarrow cos(t)(t^2 + 5) = 5 , vamos resolver para y(t) = 0 Rightarrow raizt - pi2 sin(t) = 0 nas equações de x(t) = 0 Rightarrow cos(t)(t^2 + 5) = 0 e y(t) = 0 Rightarrow raizt - pi2 sin(t) = 0 :
  • No ponto inicial :
    Isso acontece quando , ou seja, .
  • No ponto final :
    Isso ocorre quando , ou seja, .
Então, os limites de integração são de a .

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a derivada de r(t) = x(t),i + y(t),j , que é o vetor posição:
dxdt = -sin(t)(t^2 + 5) + cos(t)(2t)
Calculando as derivadas:
dydt = 12(t - pi2)^-12 sin(t) + raizt - pi2 cos(t)
drdt = [-sin(t)(t^2 + 5) + 2tcos(t)],i + [sin(t)2raizt - pi2 + raizt - pi2 cos(t)],j
Portanto:

Passo 6

Vamos agora substituir W = integralpi2^pi F(x(t), y(t)) cdot drdt , dt e F(x(t), y(t)) = 2x(t),i + 2y(t),j na integral de linha:
F cdot drdt = 2x(t) cdot dxdt + 2y(t) cdot dydt
Então, o produto escalar é:

Passo 7

Substituímos as expressões de W = integralpi2^pi [2cos(t)(t^2 + 5) cdot (-sin(t)(t^2 + 5) + 2tcos(t)) + 2raizt - pi2 sin(t) cdot (sin(t)2raizt - pi2 + raizt - pi2 cos(t))] dt , W = integralpi2^pi [2cos(t)(t^2 + 5)(- sin(t)(t^2 + 5) + 2tcos(t)) + 2raizt - pi2 sin(t) cdot sin(t)2raizt - pi2 + 2raizt - pi2 sin(t) cdot raizt - pi2 cos(t)] dt , = integralpi2^pi [-2cos(t)sin(t)(t^2 + 5)^2 + 4tcos^2(t)(t^2 + 5) + sin^2(t) + 2(t - pi2)sin(t)cos(t)] dt e na integral:
Simplificando:

Passo 8

Essa integral pode ser bastante complexa para resolver exatamente, mas vamos perceber que o campo de forças partial Upartial x = 2x Rightarrow U(x, y) = x^2 + g(y) é conservativo. Ou seja, existe uma função potencial partial Upartial y = 2y Rightarrow g'(y) = 2y Rightarrow g(y) = y^2 + C tal que U(x, y) = x^2 + y^2 + C .
Vamos encontrar essa função potencial:
W = U(0, 0) - U(5, 0)
W = (0^2 + 0^2) - (5^2 + 0^2) = 0 - 25 = -25
Portanto:
Como o trabalho em um campo conservativo é a diferença do potencial nos pontos final e inicial:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de forças é unidades de trabalho.

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