Calcule a integral integralC F cdot d r, onde C é a fronteira da região R e C é orientada de modo que a região fique à esquerda quando a fronteira é percorrida no sentido de sua orientação.
F(x, y)=(x^2+y) i+(4 x-cos y) j ; C é a fronteira da região R que está no interior do quadrado de vértices (0,0),(5,0), (5,5),(0,5), mas está fora do retângulo de vértices (1,1),(3, 1), (3,2),(1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde . A curva é a fronteira de uma região , que é o interior de um quadrado de vértices , , , , mas com um retângulo menor recortado dentro, com vértices , , , . Vamos usar o Teorema de Green para facilitar essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao longo da fronteira de uma região ointC P,dx + Q,dy = integral duplaR ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx,dy com uma integral dupla sobre . A fórmula é:
No nosso caso, e . Precisamos calcular e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x (4x - cos y) = 4
partial Ppartial y = partialpartial y (x^2 + y) = 1
Agora, substituindo na fórmula do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 4 - 1 = 3

Passo 4

Então, a integral dupla fica:
integral duplaR 3,dx,dy = 3 cdot Área de R Á
Agora precisamos calcular a área da região , que é o quadrado grande menos o retângulo menor.

Passo 5

Calculando as áreas:
  • Área do quadrado grande: 25 - 2 = 23 unidades quadradas unidades quadradas.
  • Área do retângulo menor: unidades quadradas.
Portanto, a área de é:

Passo 6

Agora, multiplicamos pela constante que encontramos:
3 times 23 = 69

Resposta

O valor da integral é 69.

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