Calcule a integral
, onde
é a fronteira da região
e
é orientada de modo que a região fique à esquerda quando a fronteira é percorrida no sentido de sua orientação.
é a fronteira da região
que está no interior do quadrado de vértices
,
, mas está fora do retângulo de vértices
, 1),
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde
. A curva
é a fronteira de uma região
, que é o interior de um quadrado de vértices
,
,
,
, mas com um retângulo menor recortado dentro, com vértices
,
,
,
. Vamos usar o Teorema de Green para facilitar essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao longo da fronteira de uma região
com uma integral dupla sobre
. A fórmula é:
No nosso caso,
e
. Precisamos calcular
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Agora, substituindo na fórmula do Teorema de Green:
Passo 4
Então, a integral dupla fica:
Agora precisamos calcular a área da região
, que é o quadrado grande menos o retângulo menor.
Passo 5
Calculando as áreas:
- Área do quadrado grande:
unidades quadradas. - Área do retângulo menor:
unidades quadradas.
Portanto, a área de
é:
Passo 6
Agora, multiplicamos pela constante que encontramos:
Resposta
O valor da integral é 69.