Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão. Além disso, esboce o gráfico.
Passo 1
Temos a função
. Vamos estudar concavidade e pontos de inflexão. Para isso, vamos precisar da segunda derivada e analisar seu sinal.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada usando a regra do quociente:
Passo 3
Para ajudar no esboço do gráfico, analisamos o sinal de
. Como
quando
(isto é,
) e
quando
, há um máximo local em
com
e um mínimo local em
com
.
Passo 4
Agora, calculamos a segunda derivada para estudar concavidade:
Passo 5
Determinamos os pontos de inflexão resolvendo
. Como o denominador é sempre positivo, basta resolver
, obtendo
e
. Os pontos de inflexão são:
Passo 6
Para saber onde a função é côncava para cima ou para baixo, analisamos o sinal de
. O denominador é positivo, então:
- Para
: e ⇒ (côncava para baixo). - Para
: e ⇒ (côncava para cima). - Para
: e ⇒ (côncava para baixo). - Para
: e ⇒ (côncava para cima).
Passo 7
Esboço do gráfico:
- Intercepto em
. - Mínimo local em
e máximo local em . - Pontos de inflexão em
, e . - Limites horizontais:
e , assíntota horizontal . - A curva sai de
em , atinge mínimo em , inflexão em , passa por , chega a , inflexão em e retorna para em .
Resposta
Concavidade para cima em
(-\sqrt3,0) e (\sqrt3,\infty);
concavidade para baixo em
(-\infty,-\sqrt3) e (0,\sqrt3).
Pontos de inflexão em
(-\sqrt3,-\tfrac{\sqrt3}{4}), (0,0), (\sqrt3,\tfrac{\sqrt3}{4}).
Gráfico esboçado qualitativamente conforme descrito acima.
(-\sqrt3,0) e (\sqrt3,\infty);
concavidade para baixo em
(-\infty,-\sqrt3) e (0,\sqrt3).
Pontos de inflexão em
(-\sqrt3,-\tfrac{\sqrt3}{4}), (0,0), (\sqrt3,\tfrac{\sqrt3}{4}).
Gráfico esboçado qualitativamente conforme descrito acima.