Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão. Além disso, esboce o gráfico.
y=x1+x^2

Passo 1

Temos a função y=x1+x^2. Vamos estudar concavidade e pontos de inflexão. Para isso, vamos precisar da segunda derivada e analisar seu sinal.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada usando a regra do quociente:
y'=(1+x^2)cdot1 - xcdot2x(1+x^2)^2 = 1 - x^2(1 + x^2)^2

Passo 3

Para ajudar no esboço do gráfico, analisamos o sinal de y'. Como y'>0 quando 1 - x^2>0 (isto é, -1) e y'<0 quando |x|>1, há um máximo local em x=1 com y(1)=tfrac12 e um mínimo local em x=-1 com y(-1)=-tfrac12.

Passo 4

Agora, calculamos a segunda derivada para estudar concavidade:
y''=ddxl(1 - x^2(1 + x^2)^2r) =-2x(1 + x^2)^2 -(1 - x^2)4x(1 + x^2)(1 + x^2)^4 =-2x(3 - x^2)(1 + x^2)^3 =2x(x^2 - 3)(1 + x^2)^3

Passo 5

Determinamos os pontos de inflexão resolvendo y''=0. Como o denominador é sempre positivo, basta resolver 2x(x^2 - 3)=0, obtendo x=0 e x=pmraiz3. Os pontos de inflexão são:
(0,0),(-raiz3,-tfracraiz34),(raiz3,tfracraiz34)

Passo 6

Para saber onde a função é côncava para cima ou para baixo, analisamos o sinal de y''. O denominador é positivo, então:
  • Para x< -raiz3: x<0 e x^2-3>0 y''<0 (côncava para baixo).
  • Para -raiz3: x<0 e x^2-3<0 y''>0 (côncava para cima).
  • Para 0: x>0 e x^2-3<0 y''<0 (côncava para baixo).
  • Para x>raiz3: x>0 e x^2-3>0 y''>0 (côncava para cima).

Passo 7

Esboço do gráfico:
  • Intercepto em (0,0).
  • Mínimo local em (-1,-tfrac12) e máximo local em (1,tfrac12).
  • Pontos de inflexão em (-raiz3,-tfracraiz34), (0,0) e (raiz3,tfracraiz34).
  • Limites horizontais: limxto -inftyy=0^- e limxto +inftyy=0^+, assíntota horizontal y=0.
  • A curva sai de 0^- em xto-infty, atinge mínimo em -1, inflexão em -raiz3, passa por (0,0), chega a (1,tfrac12), inflexão em raiz3 e retorna para 0^+ em xto+infty.

Resposta

Concavidade para cima em
(-\sqrt3,0) e (\sqrt3,\infty);
concavidade para baixo em
(-\infty,-\sqrt3) e (0,\sqrt3).
Pontos de inflexão em
(-\sqrt3,-\tfrac{\sqrt3}{4}), (0,0), (\sqrt3,\tfrac{\sqrt3}{4}).
Gráfico esboçado qualitativamente conforme descrito acima.

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