Calcular a integral curvilínea ao longo de
.
, C é o segmento retilíneo de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral curvilínea
onde
é o segmento de reta que vai de
até
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a parametrização de curvas e integração ao longo de uma curva no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar a curva
. Como
é um segmento de reta de
a
, podemos usar um parâmetro
que varia de 0 a 1. A parametrização fica:
Aqui,
corresponde ao ponto
e
ao ponto
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da posição
em relação a
, que é
:
Esta derivada nos ajuda a calcular o diferencial de comprimento
.
Passo 4
O diferencial de comprimento
é dado pelo módulo da derivada de
:
Então,
.
Passo 5
Agora, substituímos
,
e
em termos de
na função
:
Ou seja,
.
Passo 6
A integral curvilínea agora pode ser expressa em termos de
:
Isso simplifica nossa integral para uma expressão mais fácil de calcular.
Passo 7
Calculamos a integral de
de 0 a 1:
Então, a integral fica:
Resposta
A integral curvilínea
ao longo de
é
.