Calcular a integral curvilínea ao longo de C.
integralC x y z d s, C é o segmento retilíneo de (0,0,0) a(1,2,3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral curvilínea onde é o segmento de reta que vai de até . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a parametrização de curvas e integração ao longo de uma curva no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva r(t) = (1t, 2t, 3t) = (t, 2t, 3t) . Como é um segmento de reta de a , podemos usar um parâmetro que varia de 0 a 1. A parametrização fica:
Aqui, corresponde ao ponto e ao ponto .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da posição r'(t) = (dxdt, dydt, dzdt) = (1, 2, 3) em relação a , que é :
Esta derivada nos ajuda a calcular o diferencial de comprimento .

Passo 4

O diferencial de comprimento ds = |r'(t)| , dt = raiz1^2 + 2^2 + 3^2 , dt = raiz1 + 4 + 9 , dt = raiz14 , dt é dado pelo módulo da derivada de :
Então, .

Passo 5

Agora, substituímos f(t) = t cdot 2t cdot 3t = 6t^3 , e em termos de na função :
Ou seja, .

Passo 6

A integral curvilínea agora pode ser expressa em termos de integralC x y z , ds = integral0^1 6t^3 cdot raiz14 , dt = 6raiz14 integral0^1 t^3 , dt :
Isso simplifica nossa integral para uma expressão mais fácil de calcular.

Passo 7

Calculamos a integral de integral0^1 t^3 , dt = [t^44]0^1 = 1^44 - 0^44 = 14 de 0 a 1:
6raiz14 cdot 14 = 6raiz144 = 3raiz142
Então, a integral fica:

Resposta

A integral curvilínea ao longo de é .

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