Calcular a integral curvilínea ao longo de
.
, C é o gráfico de
de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral curvilínea dada por
. O enunciado pede para fazermos isso ao longo da curva
, que é o gráfico de
, indo do ponto
até
. Para resolver, vamos usar cálculo de integrais em curvas, que envolve parametrizar a curva e então substituir na integral.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Como
, podemos usar
como nosso parâmetro. Assim, definimos:
onde
vai de 0 a 2, já que começamos em
e vamos até
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
, ou seja,
e
. Como
, temos:
E para
:
Passo 4
Substituímos
,
,
e
na integral original:
Simplificando dentro da integral:
Passo 5
Vamos expandir e simplificar a expressão dentro da integral:
Então a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Portanto, a primitiva é:
Passo 7
Agora, avaliamos a primitiva de 0 a 2:
Calculando cada termo:
E o segundo termo é 0.
Resposta
O valor da integral curvilínea é
.