Calcular a integral curvilínea ao longo de C.
integralC[y d x+(x+y) d y], C é o gráfico de y=x^2+2 x de (0,0) a (2,8).

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral curvilínea dada por . O enunciado pede para fazermos isso ao longo da curva , que é o gráfico de , indo do ponto até . Para resolver, vamos usar cálculo de integrais em curvas, que envolve parametrizar a curva e então substituir na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva x = t . Como y = t^2 + 2t , podemos usar como nosso parâmetro. Assim, definimos:
onde vai de 0 a 2, já que começamos em e vamos até .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de dxdt = 1 Rightarrow dx = dt e dydt = 2t + 2 Rightarrow dy = (2t + 2) , dt em relação a , ou seja, e . Como , temos:
E para :

Passo 4

Substituímos integralC[y , dx + (x+y) , dy] = integral0^2[(t^2 + 2t) cdot 1 + (t + t^2 + 2t) cdot (2t + 2)] , dt , = integral0^2[t^2 + 2t + (t + t^2 + 2t)(2t + 2)] , dt , e na integral original:
Simplificando dentro da integral:

Passo 5

Vamos expandir e simplificar a expressão dentro da integral:
(t + t^2 + 2t)(2t + 2) = (t^2 + 3t)(2t + 2) = 2t^3 + 2t^2 + 6t^2 + 6t = 2t^3 + 8t^2 + 6t
Então a integral fica:
integral0^2[t^2 + 2t + 2t^3 + 8t^2 + 6t] , dt = integral0^2[2t^3 + 9t^2 + 8t] , dt

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral 2t^3 , dt = 24t^4 = 12t^4
integral 9t^2 , dt = 93t^3 = 3t^3
integral 8t , dt = 82t^2 = 4t^2
Portanto, a primitiva é:
12t^4 + 3t^3 + 4t^2

Passo 7

Agora, avaliamos a primitiva de 0 a 2:
[12(2)^4 + 3(2)^3 + 4(2)^2] - [12(0)^4 + 3(0)^3 + 4(0)^2]
Calculando cada termo:
12(16) + 3(8) + 4(4) = 8 + 24 + 16 = 48
E o segundo termo é 0.

Resposta

O valor da integral curvilínea é .

Exercícios relacionados