Encontre as equações das retas tangente e normal à curva no ponto de abscissa indicada.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar as equações das retas tangente e normal à curva no ponto onde . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangente e normal em um ponto específico de uma curva.
Passo 2
Vamos começar calculando o valor de quando . Substituímos na função:
Sabemos que , então:
Portanto, o ponto de interesse é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , que nos dará a inclinação da reta tangente. A função é . Usamos a regra da cadeia para derivar:
Podemos simplificar usando a identidade trigonométrica :
Passo 4
Vamos calcular a derivada no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é 3.
Passo 5
Com a inclinação y - y0 = m(x - x0) e o ponto y - 12 = 3(x - pi12) , usamos a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
y = 3x - 3pi12 + 12 = 3x - pi4 + 12
Substituindo os valores:
y = 3x - pi4 + 12
Distribuindo:
Portanto, a equação da reta tangente é:
Passo 6
A reta normal é perpendicular à reta tangente. A inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da tangente. Então:
mnormal = -13
Usando novamente a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
y - 12 = -13(x - pi12)
Distribuindo:
y = -13x + pi36 + 12
Simplificando:
y = -13x + pi36 + 1836 = -13x + pi + 1836
Resposta
A equação da reta tangente é e a equação da reta normal é .