Encontre as equações das retas tangente e normal à curva y=f(x) no ponto de abscissa indicada. y=sen^2(3 x) ; x=pi12

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar as equações das retas tangente e normal à curva no ponto onde . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangente e normal em um ponto específico de uma curva.

Passo 2

Vamos começar calculando o valor de y = sin^2(3 times pi12) = sin^2(pi4) quando y = (raiz22)^2 = 24 = 12 . Substituímos na função:
Sabemos que , então:
Portanto, o ponto de interesse é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dydx = 2 sin(3x) cdot cos(3x) cdot 3 = 6 sin(3x) cos(3x) em relação a dydx = 3 sin(6x) , que nos dará a inclinação da reta tangente. A função é . Usamos a regra da cadeia para derivar:
Podemos simplificar usando a identidade trigonométrica :

Passo 4

Vamos calcular a derivada no ponto dydxg|x = pi12 = 3 sin(6 times pi12) = 3 sin(pi2) = 3 times 1 = 3 :
Então, a inclinação da reta tangente é 3.

Passo 5

Com a inclinação y - y0 = m(x - x0) e o ponto y - 12 = 3(x - pi12) , usamos a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
y = 3x - 3pi12 + 12 = 3x - pi4 + 12
Substituindo os valores:
y = 3x - pi4 + 12
Distribuindo:
Portanto, a equação da reta tangente é:

Passo 6

A reta normal é perpendicular à reta tangente. A inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da tangente. Então:
mnormal = -13
Usando novamente a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
y - 12 = -13(x - pi12)
Distribuindo:
y = -13x + pi36 + 12
Simplificando:
y = -13x + pi36 + 1836 = -13x + pi + 1836

Resposta

A equação da reta tangente é e a equação da reta normal é .

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