Calcule as integrais de linha dos campos vetoriais conservativos:
integralC 2 x cos (y) d x-x^2 sen(y) d y sobre a curva astroide C: r(t)=(cos ^3(t), sen^3(t)) restrita ao primeiro quadrante e percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralC2xcos(y),dx - x^2sin(y),dy sobre a astroide C:r(t)=(cos^3t,sin^3t) no primeiro quadrante, percorrida no sentido anti-horário. O conteúdo envolvido é de campos vetoriais conservativos e vamos precisar reconhecer que o campo é conservativo e encontrar sua função potencial.

Passo 2

Para verificar que o campo F=(P,Q) com P=2xcos(y) e Q=-x^2sin(y) é conservativo, calculamos as derivadas parciais:
  • partial Ppartial y=partialpartial y(2xcos y)=-2xsin y.
  • partial Qpartial x=partialpartial x(-x^2sin y)=-2xsin y.
    Como partial P/partial y=partial Q/partial x, o campo é conservativo em R^2.

Passo 3

Para achar a função potencial f(x,y) tal que nabla f=(P,Q), integramos partial f/partial x=P:
f(x,y)=integral 2xcos y,dx = x^2cos y + g(y)

Passo 4

Em seguida, impomos partial f/partial y=-x^2sin y + g'(y)=Q=-x^2sin y, o que dá g'(y)=0. Assim podemos escolher
f(x,y)=x^2cos y

Passo 5

A curva está parametricamente dada por r(t)=(cos^3t,sin^3t) com tin[0,pi/2]. O ponto inicial é r(0)=(1,0) e o ponto final é r(pi/2)=(0,1).
Como o campo é conservativo, a integral vale
f(r(pi/2))-f(r(0)) = f(0,1)-f(1,0)

Resposta

-1

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