Calcule as integrais de linha dos campos vetoriais conservativos:
sobre a curva astroide
restrita ao primeiro quadrante e percorrida no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
sobre a astroide
no primeiro quadrante, percorrida no sentido anti-horário. O conteúdo envolvido é de campos vetoriais conservativos e vamos precisar reconhecer que o campo é conservativo e encontrar sua função potencial.
Passo 2
Para verificar que o campo
com
e
é conservativo, calculamos as derivadas parciais:
-
. -
.
Como, o campo é conservativo em .
Passo 3
Para achar a função potencial
tal que
, integramos
:
Passo 4
Em seguida, impomos
, o que dá
. Assim podemos escolher
Passo 5
A curva está parametricamente dada por
com
. O ponto inicial é
e o ponto final é
.
Como o campo é conservativo, a integral vale
Como o campo é conservativo, a integral vale
Resposta
-1